Den gylne vinkelen

Den gylne vinkelen er vinkelen på den mindre delen (oransje) og er avhengig av at begge delane forheld seg til det gylne snittet. Ψ≈137,5°

Den gylne vinkelen (Ψ) er innan geometrien eit snitt av ein sirkel på 360 grader, der tilhøvet mellom to vinklar følgjer det gylne snittet. Om den store sirkelsektoren a og den mindre sirkelsektoren b blir dividerte blir kvotienten 1,618... = φ

Om a+b er omkrinsen på sirkelen og han blir dividert med den større delen a, er det det same som at den større delen a blir dividert med den mindre delen b.

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}.}$

Den gylne vinkelen er bestemd av vinkelen på den mindre sirkelsektoren, og blir rekna ut gjennom å dividera 360/2,618 som blir cirka 137,508°.

Namnet kjem frå koplinga av vinkelen til det gylne snittet φ. Den eksakte verdien på den gylne vinkelen er

${\displaystyle 360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ grader}}}$

${\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radianar}}}$

Avleiing

Det gylne snittet er ifølge definisjon over φ = a/b

Lat no ƒ vera snittet av bogelengda til sirkelskiva over den totale sirkelomkrinsen. Det gylne snittet kan derfor inkorporerast i formelen ifølge

${\displaystyle f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.}$

Men ettersom

${\displaystyle {1+\varphi }=\varphi ^{2},}$

Så følgjer det at

${\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$

Dette er det same som å seia at φ ² 'tal gyle vinklar' får plass i ein sirkel.

Fraksjonen av ein sirkel som blir opptatt av den gylne vinkelen blir dermed

${\displaystyle f\approx 0.381966.\,}$

Den gylne vinkelen g kan deretter approksimerast i talet grader ifølge:

${\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}$

Eller i radianar:

${\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}$

Den gylne vinkelen i naturen

Vinkelen mellom ulike blad i følgd som sit etter den gylne vinkelen i høve til kvarandre.

Den gylne vinkelen speler ei viktig rolle i høve til phyllotaxis eller bladstilling; til dømes er vinkelen mellom respektive blad hjå ei sosikke omtrent den gylne vinkelen.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Gyllene vinkeln» frå Wikipedia på svensk, den 20. mars 2022.
  • Wikipedia på svensk oppgav desse kjeldene: Engelsk Wikipedia