Vlinderkromme

De Vlinderkromme is een wiskundige functie, die in twee vormen bestaat: de transcendente vorm en de algebraïsche vorm.

De transcendente vlinderkromme

De transcendente vlinderkromme.

Deze vorm van de vlinderkromme is ontwikkeld door Temple H. Fay. In poolcoördinaten wordt de transcendente vlinderkromme gegeven door:

${\displaystyle \rho (\theta )=e^{\sin(\theta )}-2\cos(4\theta )+\sin ^{5}\left({\frac {2\theta -\pi }{24}}\right)}$

Deze kromme heeft is periodiek met periode ${\displaystyle 24\pi }$. Een parametervorm kan worden verkregen door in de bovenstaande formule de variabele ${\displaystyle \theta }$ te vervangen door:

${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\pi -t}$

zodat:

${\displaystyle x(t)=\cos(t)[e^{\cos(t)}-2\cos(4t)-\sin ^{5}({\tfrac {1}{12}}t)]}$

${\displaystyle y(t)=\sin(t)[e^{\cos(t)}-2\cos(4t)-\sin ^{5}({\tfrac {1}{12}}t)]}$

Deze parametrische versie ligt 90° gedraaid tegenover de versie in poolcoördinaten. De factor 4 in de term ${\displaystyle \cos(4t)}$ is bepalend voor het aantal grotere vleugels van de vlinderfiguur.

De totale booglengte is bij benadering:

${\displaystyle s\approx 136{,}4916\pi }$

De algebraïsche vlinderkromme

De algebraïsche vlinderkormme.

Deze kromme wordt gegeven door de impliciete functie van één (onafhankelijke) veranderlijke:

${\displaystyle x^{6}+y^{6}=x^{2}}$

De oppervlakte gelegen binnen deze kormme is:

${\displaystyle 4\int _{0}^{1}(x^{2}-x^{6})^{\frac {1}{6}}\mathrm {d} x={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{6}})\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{3}})}{3{\sqrt {\pi }}}}\approx 2{,}804,}$

Dit resultaat bevat waarden van de gammafunctie. De booglengte is bij benadering:

${\displaystyle s\approx 9{,}017}$

Externe link

• rij A118292 in OEIS Oppervlakte binnen de algebraïsche vlindercurve
• rij A118811 in OEIS Booglengte van de algebraïsche vlindercurve]