Barkas is de zoon van een Griekse vader en een Nederlandse moeder en werd in Athene geboren, waar hij in de jeugd van Atromitos ging spelen.[1] Bij die club maakte hij op 20 mei 2015 zijn professionele debuut, toen in eigen huis met 1–1 gelijkgespeeld werd tegen PAOK Saloniki. Laurent Agouazi opende de score namens de thuisploeg, waarna Facundo Pereyra verantwoordelijk was voor de gelijkmaker. Barkas begon op de reservebank, maar zeven minuten voor tijd viel hij in voor de geblesseerd geraakte Andrej Gorboenov.[2]
AEK Athene
In de zomer van 2016 verkaste de doelman voor circa zeshonderdduizend euro naar AEK Athene.[3] In juli 2017 liep Barkas een langdurige handblessure op. Enkele maanden later keerde hij in november 2017 terug.[4] Na twee seizoenen in Athene verlengde Barkas in 2018 zijn verbintenis tot medio 2022.[5]
Celtic
In de zomer van 2020 maakte Barkas een transfer naar de Schotse kampioen Celtic. Deze club betaalde circa vijf miljoen euro voor de doelman en hij zette zijn handtekening onder een verbintenis voor de duur van vier seizoenen.[6]
FC Utrecht
Voorafgaand aan het seizoen 2022/23 nam FC Utrecht de Griekse sluitpost op huurbasis over.[7] Een deel van de supporters was sceptisch over de komst van keeper, waarbij ook toenmalig trainer Henk Fraser zich op de trainingen afvroeg of Barkas wel voeldoening haalde uit de trainingen. De trainer vond hem daarbij namelijk niet energiek.[8] Vanaf de eerste wedstrijd stond Barkas in de basis. Gedurende het seizoen hield hij tien keer de nul en diverse media roemden zijn optredens.[9][10] Aan het eind van het seizoen eindigde Barkas als derde in de verkiezing om de David di Tommaso-trofee, waarmee hij de eerste gehuurde speler ooit werd die in de top drie van deze prijs belandde.[11]
Gedurende het seizoen leek duidelijk te worden dat het definitief vastleggen van Barkas niet tot de mogelijkheden van FC Utrecht behoorde. Het financiële aspect speelde daarbij een te grote rol.[12] Begin juni 2023 werd echter duidelijk dat Celtic het nog tot medio 2024 doorlopende contract van Barkas had ontbonden, waardoor hij zelf de mogelijkheid had om over zijn toekomst te beslissen. Zo had hij zijn zaakwaarnemer opgedragen de mogelijkheden tot een langer verblijf bij de Utrechtse club te gaan onderzoeken.[13] Eind juli tekende hij voor één seizoen met een optie voor een jaar extra bij FC Utrecht.[14] Op 28 oktober 2023 pakte Barkas een penalty, waarmee hij in de in 0–0 geïndigde uitwedstrijd tegen Fortuna Sittard een punt wist te redden voor de club.[15] Begin mei 2024 werd door de club de optie voor het extra seizoen gelicht.[16] Aan het eind van zijn tweede seizoen bij de club eindigde voor hij als tweede in de verkiezing om de David di-Tommaso-trofee.[17]