Toeplitz-operator

In de operatorentheorie, een deelgebied van de wiskundige analyse, is een Toeplitz-operator een lineaire operator in de Hardy-ruimte ${\displaystyle H^{2}}$ geassocieerd met een gegeven begrensde functie.

Definitie

We noteren de eenheidscirkel als de eendimensionale torus ${\displaystyle \mathbb {T} ,}$ wat hetzelfde is als het gesloten interval ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ met de eindpunten geïdentificeerd. ${\displaystyle L^{2}({\mathbb {T} })}$ is de Hilbertruimte van kwadratisch integreerbare complexwaardige periodieke functies met periode ${\displaystyle 2\pi .}$ De Hardyruimte ${\displaystyle H^{2}}$ is hiervan een gesloten deelruimte. Zij ${\displaystyle P}$ de loodrechte projectie van vectoren van ${\displaystyle L^{2}({\mathbb {T} })}$ op ${\displaystyle H^{2}.}$

De Toeplitz-operator ${\displaystyle T_{\varphi }}$ geassocieerd met een essentieel begrensde functie ${\displaystyle \varphi \in L^{\infty }({\mathbb {T} })}$ is het resultaat van de vermenigvuldiging met ${\displaystyle \varphi }$ gevolgd door loodrechte projectie:^[1]

${\displaystyle T_{\varphi }:H^{2}\to H^{2}:f\mapsto P(\varphi f)}$

Verband met Toeplitz-matrices

De meest gebruikte orthonormale basis voor ${\displaystyle H^{2}}$ bestaat uit de goniometrische functies

${\displaystyle \chi _{n}:{\mathbb {T} }\to {\mathbb {C} }:t\mapsto e^{int},\ n\in {\mathbb {N} }}$

Als ${\displaystyle \varphi }$ een essentieel begrensde periodieke functie is met Fouriercoëfficiënten

${\displaystyle {\hat {\varphi }}(n)={1 \over 2\pi }\int _{t=0}^{2\pi }\varphi (t)\chi _{-n}(t)\,dt}$

dan worden de matrixelementen ${\displaystyle a_{m,n}}$ van ${\displaystyle T_{\varphi }}$ ten opzichte van die orthonormale basis gegeven door

${\displaystyle a_{m,n}=(T_{\varphi }\chi _{n},\chi _{m})={1 \over 2\pi }\int _{t=0}^{2\pi }\varphi (t)\chi _{m-n}(t)\,dt={\hat {\varphi }}(m-n).}$

Met andere woorden is de matrix van ${\displaystyle T_{\varphi }}$ constant op de diagonalen, wat precies de voorwaarde is voor een (eindige) Toeplitz-matrix.^[1]

Bronnen, noten en/of referenties

1. Hoofdstuk 7 in Douglas, Ronald G., "Banach Algebra Techniques in Operator Theory," Pure and Applied Mathematics 49, Academic Press 1972.