Stelling van Looman-Menchoff

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, stelt de stelling van Looman–Menchoff, dat een continue complex-waardige functie, die op een open verzameling van het complexe vlak is gedefinieerd, holomorf is, dan en slechts dan als deze functie voldoet aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen. Het is een veralgemening van de stelling van Goursat. In plaats van de continuïteit van ${\displaystyle f}$ aan te nemen, neemt men de Fréchet-differentieerbaarheid van de functie aan, indien bekeken als een functie van een deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ naar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Een complete formulering van de stelling luidt:

Laat ${\displaystyle \Omega }$ een open verzameling in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ zijn en ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ een continue functie. Neem aan dat de partiële afgeleides ${\displaystyle \partial f/\partial x}$ en ${\displaystyle \partial f/\partial y}$ overal in Ω bestaan. Dan is ${\displaystyle f}$ dan en slechts dan holomorf, als zij voldoet aan de Cauchy-Riemann-vergelijking:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0}$

Referenties

• (en) Looman, H, Über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen|journal, Göttinger Nach, 1923 pag 97–108.
• (fr) Menchoff, D, Les conditions de monogénéité, Paris, 1936.