Ongelijkheid (wiskunde)

Een ongelijkheid is in de wiskunde een relatie die iets zegt over de relatieve grootte van twee wiskundige objecten. Ongelijkheden berusten op de relatie "kleiner dan", genoteerd als "<", die aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat kleiner is dan wat rechts staat.

Definitie en notatie

Van twee reële getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ zegt men dat ${\displaystyle a}$ kleiner is dan ${\displaystyle b}$, genoteerd als ${\displaystyle a<b}$, als er een positief getal ${\displaystyle c}$ is, waarvoor ${\displaystyle a+c=b}$.

• In plaats van ${\displaystyle a<b}$ schrijft men ook ${\displaystyle b>a}$, en zegt: ${\displaystyle b}$ is groter dan ${\displaystyle a}$.
• Voor ${\displaystyle a<b}$ of ${\displaystyle a=b}$ schrijft men kort: ${\displaystyle a\leq b}$, en men zegt: ${\displaystyle a}$ is kleiner dan of gelijk aan ${\displaystyle b}$ of kort ${\displaystyle a}$ is kleiner of gelijk ${\displaystyle b.}$
• Voor ${\displaystyle a>b}$ of ${\displaystyle a=b}$ schrijft men kort: ${\displaystyle a\geq b}$, en men zegt: ${\displaystyle a}$ is groter dan of gelijk aan ${\displaystyle b}$ of kort ${\displaystyle a}$ is groter of gelijk ${\displaystyle b.}$

De relaties ${\displaystyle <}$ en ${\displaystyle >}$ worden strikte ongelijkheden genoemd, dit in tegenstelling tot ${\displaystyle \leq }$ en ${\displaystyle \geq }$.

Hoewel zonder exacte betekenis schrijft men wel:

• ${\displaystyle a\ll b}$ met de betekenis: ${\displaystyle a}$ is veel kleiner dan ${\displaystyle b}$.
• ${\displaystyle a\gg b}$ met de betekenis: ${\displaystyle a}$ is veel groter dan ${\displaystyle b}$.

Gebruik

Voor alle reële getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ is voldaan aan precies een van volgende drie mogelijkheden:

• ${\displaystyle a<b}$
• ${\displaystyle a=b}$
• ${\displaystyle a>b}$

Om ongelijkheden in een makkelijker berekenbare vorm om te zetten, bestaan voor de basisbewerkingen enkele rekenregels:

• Optelling en aftrekking van reële getallen ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle c}$:
  • Als ${\displaystyle a<b}$, geldt: ${\displaystyle a+c<b+c}$ en ${\displaystyle a-c<b-c}$.
• Vermenigvuldiging en deling van reële getallen ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle c}$ met ${\displaystyle c\neq 0}$:
  • Als ${\displaystyle c>0}$ is en ${\displaystyle a<b}$, geldt: ${\displaystyle ac<bc}$ en ${\displaystyle a/c<b/c}$.
  • Als ${\displaystyle c<0}$ is en ${\displaystyle a<b}$, geldt: ${\displaystyle ac>bc}$ en ${\displaystyle a/c>b/c}$.
• Eenvoudig te onthouden is dat de ongelijkheid omgedraaid wordt als:
  • Men beide leden vermenigvuldigt met of deelt door een negatief getal.
  • Men beide leden omkeert: bijvoorbeeld ${\displaystyle a/b<c/d\implies b/a>d/c}$

Ongelijkheden worden theoretisch vaak gebruikt om een boven- of ondergrens te bepalen voor grootheden, die niet eenvoudig berekenbaar zijn. Belangrijkste voorbeelden uit de maattheorie zijn de driehoeksongelijkheid, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, en ongelijkheid van Hölder, in de statistiek de ongelijkheden van Markov, Tsjebysjev en Cramér-Rao. In de praktijk komen ongelijkheden vrijwel altijd voor om voorwaarden op te leggen aan bepaalde onbekenden bij het oplossen van een stelsel van vergelijkingen.

Zie ook

• Partiële orde
• Gebruik van de tekens "<" en ">" als haakjes
• Guillemet - de tekens "«" en "»"