Nul-één-wet van Blumenthal

De nul-één-wet van Blumenthal, genoemd naar R. M. Blumenthal, is een stelling op het gebied van de stochastische processen. Net als alle nul-één-wetten beschrijft de stelling een klasse gebeurtenissen die slechts kunnen optreden met kans 0, dan wel met kans 1.

Stelling

Laat ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ een kansruimte zijn en ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ een daarop gedefinieerde brownse beweging met filter ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{B_{s}\mid s\leq t\})}$. Dan is de σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}^{+}}$, gedefinieerd door

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}^{+}=\bigcap _{t>0}{\mathcal {F}}_{t}}$,

P-triviaal, wat wil zeggen dat voor alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{0}^{+}}$ geldt: ${\displaystyle P(A)=0}$ of ${\displaystyle P(A)=1}$.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}^{+}}$ bevat dus precies die gebeurtenissen die slechts voor willekeurig kleine ${\displaystyle \varepsilon }$ van ${\displaystyle (B_{t})_{0\leq t\leq \varepsilon }}$ afhangen. Zo is bijvoorbeeld de gebeurtenis ${\displaystyle A=\{\forall \varepsilon >0\exists t>0:\;t<\varepsilon \wedge B_{t}=0\}\in {\mathcal {F}}_{0}^{+}}$ en is ${\displaystyle P(A)\in \{0,1\}}$.

Literatuur

• Blumenthal, R.M.: An extended Markov property. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 85, 1957, S. 52-72.
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8