Lineaire combinatie

In de lineaire algebra is een lineaire combinatie ${\displaystyle w}$ van eindig veel elementen ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ uit een vectorruimte ${\displaystyle V}$ over een Lichaam (Ned) / veld (Be) ${\displaystyle K}$, een som van veelvouden van deze elementen. Meer precies heet ${\displaystyle w}$ een lineaire combinatie van ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ als:

${\displaystyle w=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\dots +a_{n}u_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\qquad \quad \mathrm {met} \quad a_{i}\in K}$

De lineaire combinaties van de vectoren ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ vormen juist de lineaire deelruimte die door die vectoren wordt voortgebracht.

Ook voor een willekeurige deelverzameling ${\displaystyle U\subset V}$ heet ${\displaystyle w}$ een lineaire combinatie van ${\displaystyle U}$ als ${\displaystyle w}$ een lineaire combinatie is van eindig veel elementen uit ${\displaystyle U}$. De lineaire combinaties van de vectoren uit ${\displaystyle U}$ vormen in dit geval de lineaire deelruimte die door ${\displaystyle U}$ wordt voortgebracht.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Laat het lichaam ${\displaystyle K}$ de verzameling ${\displaystyle \mathbb {R} }$ van de reële getallen zijn en laat de vectorruimte ${\displaystyle V}$ de euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ zijn. Beschouw de vectoren

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0)}$ en ${\displaystyle e_{3}=(0,0,1)}$.

Dan is iedere vector in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ een lineaire combinatie van ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ en ${\displaystyle e_{3}}$. Neem om dit in te zien een willekeurige vector ${\displaystyle a=(1,2,3)\in \mathbb {R} ^{3}}$ en schrijf:

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}.}$

De vector ${\displaystyle e_{3}}$ is echter geen lineaire combinatie van ${\displaystyle e_{1}}$ en ${\displaystyle e_{2}}$. Er zijn namelijk geen getallen ${\displaystyle a_{1}}$ en ${\displaystyle a_{2}}$ waarvoor

${\displaystyle e_{3}=(0,0,1)=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)=(a_{1},a_{2},0)}$