In de abstracte algebra is de karakteristiek van een ring
het kleinste aantal keren dat men in een som gebruik moet maken van het multiplicatieve neutrale element 1 om de additieve identiteit 0 te krijgen. Men zegt van de ring dat deze karakteristiek nul heeft, indien deze herhaalde som nooit de additieve identiteit bereikt.
Definitie
Zij
een ring, die niet noodzakelijk commutatief is, met neutraal element
voor de vermenigvuldiging. De karakteristiek van
, genoteerd
, is het kleinste natuurlijke getal getal
zodanig dat
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {1_{R}+1_{R}+\ldots +1_{R}} &=&0_{R}\\n\ \mathrm {maal} \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893af56e49c3e3d10c87f70630897c2c46218b09)
als een dergelijk getal
bestaat, en anders 0.
Voorbeelden
- De getallenverzamelingen
,
en
hebben karakteristiek 0. Zo ook de p-adische getallen.
- Als
een integriteitsgebied is, dat wil zeggen dat er geen elementen
bestaan met
, dan is de karakteristiek 0 of een priemgetal. Dit geldt in het bijzonder als
een lichaam (Ned) / veld (Be) is.
- De gehele restklassen modulo
met
, vormen een commutatieve ring met eenheid met karakteristiek
, genoteerd
. Dit is een lichaam dan en slechts dan als
een priemgetal is.
- Als
en
ringen met eenheid zijn, en
is een deelring van
, met hetzelfde eenheidselement, dan hebben
en
dezelfde karakteristiek. Omgekeerd:
is een deelring van iedere ring met karakteristiek 0 en
is een deelring van iedere ring met karakteristiek
.
- De enige ring met karakteristiek 1 is het singleton
.
Andere definities
De karakteristiek is gelijk aan de exponent van de additieve groep van de ring, dat wil zeggen, de kleinste positieve
zodanig dat
![{\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{\text{n maal}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4134ef6441099dadfd482b3248ae807869f01d7)
voor ieder element
van de ring. Deze definitie telt weer alleen als
bestaat, anders is de karakteristiek nul. Dit volgt uit de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling.
Andere equivalente definities nemen de karakteristiek als het natuurlijke getal
zodanig dat
de kern van een ringhomomorfisme van
naar
is, zodanig dat
een deelring bevat, die isomorf met de factorring
is en die de afbeelding van dat homomorfisme zou worden. De eisen van ringhomomorfismen zijn zodanig dat er slechts een homomorfisme van de ring van de gehele getallen naar enig andere ring kan zijn.
is in de categorietheorie het initiële object van de categorie van ringen. Men houdt ook hier aan dat een ring een multiplicatief identiteitselement heeft en dat ring-homomorfismen het eenheidselement op zichzelf afbeelden.