In sommige gevallen blijkt het handiger een groep van rechts op een verzameling te laten werken.
Een (rechts)werking of (rechts)actie van een groep op een verzameling is een anti-homomorfisme van in de symmetrische groep van
.
Omdat de rechtswerking van op een anti-homomorfisme is, geldt:
, met het eenheidselement van de groep.
Men zegt dat de groep (van links, resp. van rechts) op de verzameling werkt.
In plaats van schrijft men vaak eenvoudig , of zelfs voor een linkswerking, en voor een rechtswerking in plaats van eenvoudig of . In deze notatie luiden de genoemde eigenschappen,
voor een linkswerking:
voor een rechtswerking:
Op equivalente wijze kan het begrip werking als volgt gedefinieerd worden.
Een (links)werking van de groep op de verzameling is een afbeelding:
Uit de definitie volgt dat voor iedere de functie van naar bijectief is. Wel is het mogelijk dat met meerdere groepselementen dezelfde bijectie correspondeert. Als dit niet het geval is, en dus de afbeelding van in naar in de verzameling bijecties van naar injectief is, dan noemt men de groepswerking effectief of getrouw.
Voorbeeld 1
is de verzameling functies van naar , en is een groep van bijectieve transformaties van . De groepswerking wordt gedefinieerd door , of gelijkwaardig door . Het is een homomorfisme van in de symmetriegroep van , waarbij dus met elke bijectie van naar in een bijectie van naar correspondeert.
Voorbeeld 2
Stel , en is een groep van bijectieve transformaties van . De groepswerking is eenvoudig de toepassing van de bijectie op het punt.
Als een groep werkt op een verzameling , is de baan of orbit van een element de deelverzameling van alle beelden van onder de groep:
De verzameling van alle banen als de verzameling doorloopt vormt een partitie van . Als (bovenstaand voorbeeld 2), vormen de banen dus een partitie van de . Is een metrische ruimte en een isometriegroep, dan is soms een belangrijk onderscheid of de banen uit geïsoleerde punten bestaan, of met andere woorden, discrete metrische ruimten zijn.
Voorbeelden
is de verzameling isometrieën van {1, 2, 3}, bestaande uit de identiteit en het verwisselen van 1 en 3. . De banen zijn en .
is als hierboven. is de verzameling functies van {1, 2, 3} naar {A, B}. De banen zijn, kort genoteerd, {AAB, BAA}, {ABB, BBA}, (AAA), (ABA), {BAB} en {BBB}.
is de symmetriegroep van een veelvlak. is de verzameling hoekpunten, ribben of zijvlakken. De banen zijn partities van hoekpunten, ribben of zijvlakken.
Transitiviteit
Een groepswerking van de groep op heet transitief, als er maar één baan is. Dat houdt in dat er bij elke twee elementen een is, zo, dat . In het voorbeeld van het veelvlak noemt men het veelvlak dan respectievelijk hoekpunttransitief of isogonaal en zijvlaktransitief of isohedraal.
Toepassing
Stel is de euclidische ruimte van een bepaalde dimensie, of een deelverzameling daarvan. Voor het beschrijven van symmetrie van een object op/in (waarbij een "object in " niet verward moet worden met een element van ) kunnen we dat modelleren als een functie, gedefinieerd op , met voor elk punt als functiewaarde een tupel met een of meer eigenschappen zoals kleur, materiaal, temperatuur enz. Zo kan bij de symmetrie van een voorwerp niet alleen de vorm worden betrokken maar ook andere aspecten. Ook kan men bijvoorbeeld bij een situatie zoals een gas in een ruimte symmetrie van druk en temperatuur als functie van positie beschouwen. Voor kan men dan de verzameling van dergelijke functies nemen. Voor kunnen we de symmetriegroep van nemen, en de groepswerking kan worden gedefinieerd als boven. Dit komt erop neer dat als een translatie is, en een voorwerp gegeven wordt door , het overeenkomstig die translatie verschoven voorwerp gegeven wordt door , enz. De symmetriegroep van een voorwerp of situatie beschreven door bestaat dan uit de elementen van waarvoor . Als de indicatorfunctie is van een deelverzameling van , dan is deze symmetriegroep de doorsnede van die van en .
Als de hele ruimte is kunnen we voor nemen de euclidische groep of alleen de directe isometrieën: . In het laatste geval is een baan de verzameling mogelijke posities en standen[1] van een voorwerp (star lichaam in de ruime zin van het woord, hoeft geen 3 te zijn), en correspondeert elke baan met een ander voorwerp.
Bij toevoeging aan het tupel van een in aanmerking te nemen eigenschap zoals kleur, enz. is de symmetriegroep van het voorwerp of de situatie een subgroep van de symmetriegroep zonder die toevoeging.
↑Het gaat om standen die binnen de betreffende ruimte bereikbaar zijn vanuit de beginstand, dus bijvoorbeeld niet het omdraaien via een hogerdimensionale ruimte.