Het abc-vermoeden is een vermoeden (dat wil zeggen een uitspraak waarvan men vermoedt, maar niet heeft bewezen, dat zij waar is) uit de getaltheorie. Het vermoeden werd geformuleerd door Joseph Oesterlé en David Masser in 1985.
In augustus 2012 presenteerde de Japanse wiskundige Shinichi Mochizuki van de Universiteit van Kioto een bewijs van het vermoeden, dat sindsdien door collegawiskundigen wordt gecontroleerd op zijn correctheid. Het bewijs wordt zeer serieus genomen vanwege de goede staat van dienst van Mochizuki.[1][2]
Het vermoeden, plus enkele implicaties
Definities
Het drietal positieve gehele getallen
heet een abc-drietal, als
en
relatief priem zijn en
.
Onder de kwaliteit
van een drietal
verstaat men:
.
Daarin is
het radicaal van
, d.w.z. het product van alle verschillende priemgetallen in de ontbinding van
.
Een gevolg is dat
Het abc-vermoeden
Het abc-vermoeden is een uitspraak over abc-drietallen
die luidt:
Voor elke
zijn er slechts eindig veel getallen
en
zodanig dat
.
Toelichting plus implicaties
Er moet gelden dat
, anders kunnen elke
en
uit een drietal met 2 vermenigvuldigd worden, en wordt
twee keer zo groot zonder dat het radicaal toeneemt, zodat drietallen ontstaan met willekeurig grote kwaliteit.
Het abc-vermoeden is voorlopig slechts een vermoeden, zolang het gepresenteerde bewijs niet is geverifieerd.
Er bestaat een rijtje van records, waarbij de grootst bekende waarde van
bepalend is. Momenteel (mei 2013) is het record
voor het abc-drietal
.
Dat het abc-vermoeden een sterke uitspraak is, kan bijvoorbeeld worden gezien doordat het zeer eenvoudig de laatste stelling van Fermat bewijst. Stel dat bewezen zou worden dat er geen getallen
en
zijn met
. Dan zou dat voor getallen
en
met
en ![{\displaystyle \mathrm {ggd} (a,b)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b82b9f4542b918c9be1b6e7a94734cbe8697b5)
betekenen dat het drietal
een abc-drietal is, en dus dat
![{\displaystyle c^{n}<(\operatorname {rad} (a^{n}b^{n}c^{n}))^{2}=(\operatorname {rad} (abc))^{2}\leq (abc)^{2}<c^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eafa4a6b54d2d89d5542a08411d9aba30d7cb9d)
Het zou dus betekenen dat oplossingen van Fermat alleen mogelijk zijn voor
. Voor
is de laatste stelling van Fermat echter al sinds 1825 bewezen, dus volgt hieruit dat de laatste stelling van Fermat waar is.
Open problemen
Er zijn nog veel onopgeloste problemen omtrent het abc-vermoeden. Hieronder is een selectie:[3]
- Is er een bovengrens
, zodat
voor alle abc-drietallen? Dit wordt ook wel de zwakke versie van het abc-vermoeden genoemd.
- Het is bekend dat er voor iedere
een
te vinden is zodanig dat deze
in
abc-drietallen voorkomt. Maar het is nog niet bekend wat de kleinste
is die in
drietallen voorkomt.
- Wat zijn de waarden die
aan kan nemen. Kan het verschil iedere willekeurige waarde aannemen? En zijn er waarden die vaak of minder vaak voorkomen?
- Bij een abc-drietal
(dus met
) is altijd een van de getallen deelbaar door 2, omdat twee oneven getallen opgeteld altijd even zijn. Maar is er voor elke
een drietal met
, waarbij
en
niet deelbaar zijn door
?
- Zijn er oneindig veel abc-tweelingen, dit wil zeggen twee drietallen met gelijke
en gelijke kwaliteit?
Aantal abc-drietallen met dezelfde b
Voor iedere
is er een
die in
abc-drietallen te vinden is, dus met
, waarbij de drietallen tevens voldoen aan
.[4]
Neem namelijk
met
zodanig dat
en neem voor de getallen
de volgende rij van
getallen:
.
Dan geldt voor elk van de
tweetallen
:
![{\displaystyle \operatorname {rad} (a,b)=6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37afa28d24022012b2fe6169df615ce5a15787d2)
De getallen
zijn
![{\displaystyle 2^{21k+18}+3^{42n+27},k=0,\ldots ,n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8af4786d03ea9f4abc0a2279c1aa133009c6455)
En er geldt
![{\displaystyle c=2^{21k+18}+3^{42n+27}=(2^{21})^{k}\cdot 2^{18}+(3^{42})^{n}\cdot 3^{27}=1^{k}\cdot 43+1^{j}\cdot 6=0{\pmod {49}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accd46769e0d95be6d0b96814c4cefd621acf28f)
Het radicaal
is dus maximaal
voor deze
drietallen, waardoor
.
Andere definitie van kwaliteit
Naast de standaarddefinitie van kwaliteit is het ook mogelijk om te kijken naar het product van
en
, in plaats van alleen naar c.[5]
Nu wordt namelijk gedefinieerd:
![{\displaystyle \rho (a,b,c)={\frac {\log abc}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10015a1e0aea759141a0ab398fb4703ce56e9c29)
Getallen
en
met een hoge waarde voor
worden Szpiro-drietallen genoemd.
De grootste gevonden kwaliteit
van een Szpiro-drietal is 4,41901, voor
![{\displaystyle 13\times 19^{6}+2^{30}\times 5=3^{13}\times 11^{2}\times 31}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e35b48098595f0ef361fb9e9c2e3ce800a4aa00)
Externe links
Voetnoten