Persamaan linear

Graf dua persamaan linear dengan dua pemboleh ubah setiap satu.

Dalam matematik, persamaan linear ialah suatu persamaan berbentuk ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,}$ dengan ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ialah pemboleh ubah (atau anu; nilai tak diketahui), dan ${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}}$ merupakan pekali, biasanya nombor nyata. Pekali-pekali ini boleh dianggap sebagai parameter persamaan, dan mungkin sebagai ungkapan am, ketika tiada pemboleh ubah lain wujud. Untuk menghasilkan persamaan yang bermakna, pekali ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ perlu bukan sifar kesemuanya.

Secara alternatif, satu persamaan linear dapat dibentuk dengan menyamakan sifar terhadap polinomial linear dalam medan, di mana pekali-pekali dapat dicari.

Penyelesaian persamaan sebegitu ialah nilai-nilai yang ketika ia menggantikan anu, sifat kesamaan persamaaan ini masih benar.

Dalam kes pemboleh ubah tunggal, hanya ada satu penyelesaian (dengan ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$). Kebiasaannya, istilah persamaan linear merujuk kepada situasi ini, dengan pemboleh ubah itu dipanggil sebagai anu.

Bagi kes dua pemboleh ubah, setiap penyelesaian boleh dibayangkan sebagai koordinat Cartesian suatu titik dalam satah Euclid. Peneyelsaian-penyelesaian ini membentuk garisan dalam satah, dan sebaliknya, garis-garis ini dapat dilihat sebagai set semua penyelesaian mungkin sebuah persamaan linear. Ini ialah asal istilah linear ("sebaris") dalam menerangkan persamaan ini. Secara lebih am, penyelesaian persamaan linear dengan n pemboleh ubah membentuk sebuah satah hiper (suatu subruang dimensi n − 1) dalam ruang Euclid berdimensi n.

Persamaan linear kerap muncul dalam keseluruhan bidang matematik dan aplikasinya dalam fizik dan kejuruteraan, sebahagiannya kerana sistem tak linear selalunya dapat dianggarkan dengan baik melalui persamaan linear.

Rencana ini mempertimbangkan kes persamaan tunggal dengan pekali dalam medan nombor nyata, yang mana seseorang mengkaji penyelesaian sebenar. Semua kandungannya turut digunakan dalam penyelesaian kompleks dan, lebih amnya, bagi persamaan linear dengan pekali dan penyelesaian dalam mana-mana medan. Untuk kes beberapa persamaan linear serentak, lihat sistem persamaan linear.

Contoh

Contoh sistem persamaan linear dua peboleh ubah:

${\displaystyle x+2y=10,\,}$

${\displaystyle 3+5c=4d+20,\,}$

${\displaystyle 5x-3y+6=-9x+8y+4,\,}$

Persamaan linear dua pemboleh ubah

Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, boleh ditulis dengan menggunakan hukum algebra agar menjadi lebih ringkas. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan pemalar, dengan x dan y ialah pemboleh ubah.

Bentuk umum

${\displaystyle Ax+By+C=0,\,}$

di mana pemalar A dan B, bila dijumlahkan, bukan sifar. Pemalar dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematik, bahawa pemalar tidak boleh sama dengan sifar. Graf persamaan ini akan menghasilkan sebuah garis lurus, dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera di atas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik pintasan, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan paksi-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik pintasan pula, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan paksi-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.

Bentuk piawai

${\displaystyle ax+by=c,\,}$

di mana, a dan b jika dijumlahkan adalah bukan sifar, dan a bukan nombor negatif. Bentuk piawai ini dapat diubah ke bentuk umum, tetapi tidak boleh diubah ke semua bentuk apabila a dan b adalah sifar.

Persamaan linear lebih dua pemboleh ubah

Sebuah persamaan linear boleh mempunyai lebih dari dua pemboleh ubah seperti ini:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b.}$

Dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a₁ ialah pekali pemboleh ubah pertama, x₁, dan n merupakan jumlah pemboleh ubah, serta b ialah pemalar.

Bacaan lanjut

• Siswono, Tatag Yuli Eko (2007). Matematika 2 SMP dan MTs Untuk Kelas VIII. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-666-8. Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (bantuan) (Indonesia)

Pautan luar

• Hazewinkel, Michiel, penyunting (2001), "Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4