Fungsi

Hubungan fungsi unsur set ${\displaystyle X}$ (domain) dipetakan kepada unsur set ${\displaystyle Y}$ (kodomain).

Fungsi merupakan suatu hubungan banyak-ke-satu atau satu-ke-satu antara unsur set ${\displaystyle X}$ yang dipanggil sebagai domain kepada unsur set ${\displaystyle Y}$ yang dipanggil sebagai kodomain. Setiap unsur dalam set ${\displaystyle X}$ dipanggil sebagai 'objek' atau 'input' manakala setiap unsur di dalam set ${\displaystyle Y}$ dipanggil sebagai 'imej' atau 'output'.

Tatatanda Fungsi

Terdapat beberapa notasi bagi menulis suatu hubungan fungsi ${\displaystyle f}$ dimana input ${\displaystyle x}$ dipetakan kepada output ${\displaystyle y}$.

• Notasi Fungsi: ${\displaystyle f(x)=y}$
• Notasi Anak Panah: ${\displaystyle f:x\mapsto y}$
• Notasi Indeks: ${\displaystyle f_{x}=y}$

Anologi fungsi mana suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dicatat sebagai suatu mesen yang menerima suatu input ${\displaystyle x}$ dan menghasilkan suatu output.

Sebagai contoh, suatu hubungan fungsi ${\displaystyle g}$ dimana setiap input ${\displaystyle x}$ akan menghasil output ${\displaystyle 2x+1}$ boleh ditulis sebagai ${\displaystyle g(x)=2x+1}$.

Apabila kita inputkan suatu nilai kedalam suatu fungsi, kita hanya mesti gantikan semua pemboleh ubah dengan nilai itu. Sebagai contoh, katakan kita mempunyai suatu fungsi ${\displaystyle h}$, dimana ${\displaystyle h(z)=z^{2}+1}$. Untuk mencari nilai ${\displaystyle h(3)}$, kita hanya mesti gantikan semua pemboleh ubah ${\displaystyle z}$ dengan ${\displaystyle 3}$. Jadi;

1. ${\displaystyle h(z)=z^{2}+1}$
2. ${\displaystyle h(3)=(3)^{2}+1}$,
3. ${\displaystyle h(3)=9+1}$
4. ${\displaystyle h(3)=10}$
5. Maka, ${\displaystyle h(3)=10}$

Walaupun nama fungsi selalunya dilabel dengan huruf abjad Rumi, fungsi kebanyakannya juga dilabelkan dengan huruf abjad Yunani atau suatu perkataan, contohnya:

• ${\displaystyle \zeta (s)}$, Fungsi Riemann-Zeta
• ${\displaystyle \pi (x)}$, Fungsi Kiraan Nombor Perdana
• ${\displaystyle \Gamma (z)}$, Fungsi Gamma
• ${\displaystyle Rayo(n)}$, Fungsi Rayo
• ${\displaystyle TREE(n)}$, Fungsi TREE

Input hanya boleh dilabelkan dengan huruf abjad Rumi dan Yunani. ${\displaystyle x}$ adalah nama input yang paling popular untuk digunakan sebagai nama input serta dengan ${\displaystyle n}$ digunakan sebagai nama input apabila suatu fungsi hanya terima input nombor bulat dan ${\displaystyle z}$ selalunya digunakan apabila suatu fungsi boleh menerima nombor kompleks. Namun begitu, ia juga penting untuk diperhatikan bahawa pengarang dan ahli matematik mungkin lebih suka memilihi huruf yang berbeza dalam kerja mereka.

Domain, Kodomain dan Julat

Domain

Domain adalah set bagi semua input yang boleh diterima oleh fungsi. Ia biasanya ditulis dalam notasi set dan notasi interval. Berikut adalah contoh asas:

Katakan suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dimana ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ . Domain bagi fungsi ini adalah ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )}$ atau ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ kerana apabila ${\displaystyle 0}$ dimasukkan kedalam fungsi itu, ia menghasilkan ralat bahagian dengan 0. Maka, ${\displaystyle f(0)}$ tidak ditakrif dan ${\displaystyle 0}$ tidak disertakan dalam domainnya

Ini adalah satu lagi contoh asas:

Katakan suatu fungsi ${\displaystyle A}$ dimana ${\displaystyle A(k)=0^{k}}$. Domain bagi fungsi ini boleh ditulis sebagai ${\displaystyle (0,+\infty )}$, ${\displaystyle \{k:k>0\}}$ atau ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$. Ia sebab apabila kita inputkan suatu nombor negatif ke dalam fungsi itu, ia menghasikan ralat bahagi ${\displaystyle 0}$. Maka, ${\displaystyle A(n)}$ dimana ${\displaystyle n\in \mathbb {R^{-}} }$ tidak ditakrif dan semua nombor dalam set ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ tidak disertai ke dalam domainnya.

Kodomain dan Julat

Kodomain adalah set bagi semua nilai yang wujud manakala julat adalah set bagi semua output yang hanya boleh dikeluari oleh suatu fungsi. Ia biasanya ditulis dalam notasi set dan notasi interval.

Kelas Fungsi

Fungsi mempunyai 3 kelas fungsi iaitu fungsi injektif, surjektif dan bijektif.

Fungsi Injektif

Maklumat selanjutnya: Fungsi Injektif

Fungsi injektif (juga dipanggil sebagai injeksi atau satu-ke-satu) merupakan suatu hubungan fungsi dimana semua inputnya dipetakan kepada suatu output tetapi kodomain masih ada nilai yang mustahil untuk dipetakan dari domain fungsi tersebut.

Katakan suatu fungsi ${\displaystyle B}$ dimana ${\displaystyle B(x)=x^{2}}$ dan kodomainnya adalah semua nilai dalam ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Fungsi ${\displaystyle B}$ merupakan suatu fungsi injektif kerana terdapat unsur dalam kodomainnya yang tidak dapat dipetakan dari domain. Set bagi semua unsur yang boleh dipetakan dari domain fungsi ini adalah julatnya.

Fungsi Surjektif

Fungsi surjektif (juga dipanggil sebagai surjeksi) merupakan suatu hubungan fungsi dimana setiap inputnya dipetakan kepada suatu output tetapi lebih dari satu input mungkin mempunyai suatu output-output yang sama.

Katakan suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dimana ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor }$. Fungsi ini merupakan suatu fungsi surjektif kerana domain fungsi ini mempunyai unsur yang dipetakan kepada unsur julat yang sama. Sebagai contoh, jika kita menginputkan ${\displaystyle 2.3}$ dan ${\displaystyle 2.71}$ kedalam fungsi tersebut, ia akan dipetakan kepada ${\displaystyle 2}$; ${\displaystyle f(2.3)=2}$ dan ${\displaystyle f(2.71)=2}$

Fungsi Bijektif

Fungsi bijektif (juga dipanggil sebagai bijeksi) merupakan suatu gabungan definisi hubungan fungsi injektif dan surjektif dimana setiap input hanya mempuyai satu output sendirinya dan tidak mempunyai output yang berkongsian dengan input lain.

Sebagai contoh, katakan fungsi ${\displaystyle j}$ dimana ${\displaystyle j(x)=x+1}$. Fungsi ini merupakan suatu fungsi bijektif kerana setiap unsur dalam domainnya dipetakan hanya kepada satu output di julat.

• 
  Hubungan Fungsi Injektif
• 
  Hubungan Fungsi Surjektif
• 
  Hubungan Fungsi Bijektif

Jenis Fungsi

Graf fungsi linear ${\displaystyle -x+5}$ dan ${\displaystyle (-1/2)x+2}$..

Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang ada 1 sebagai kuasa tertingginya. Ia berada dalam bentuk ${\displaystyle f(x)=mx+b}$ di mana ${\displaystyle m}$ adalah kecerunan garis dan ${\displaystyle b}$ adalah pintasan-y. Graf bagi fungsi ini hanya adalah garis lurus.

Jika ${\displaystyle b=0}$, garis lurus akan bersilang melalui asalan, iaitu titik koordinat ${\displaystyle (0,0)}$.

Terbitan Fungsi Linear

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ax+b)=a}$

Kamiran Fungsi Linear

Terbitan bagi fungsi linear akan menghasilkan fungsi kuadratik.

${\displaystyle \int (ax+b)\,dx={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+C}$ (${\displaystyle C}$ adalah pemalar kamiran)

Fungsi Kuadratik

Maklumat selanjutnya: Persamaan kuadratik

Fungsi kuadratik merupakan fungsi yang mempunyai 2 sebagai kuasa tertingginya. Fungsi ini berada dalam bentuk ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ di mana ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle c}$ adalah pemalar tetapi ${\displaystyle a\neq 0}$. Graf fungsi kuadratik berbentuk 'u', bentuk 'u' ini dikenali sebagai parabola.

Graf fungsi kuadratik ${\displaystyle x^{2}-2x-1}$.

Terbitan Fungsi Kuadratik

Terbitan bagi fungsi kuadratik akan menghasilkan fungsi linear.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ax^{2}+bx+c)=2ax+b}$

Kamiran Fungsi Kuadratik

Kamiran bagi fungsi kuadratik akan menghasilkan fungs kubik..

${\displaystyle \int (ax^{2}+bx+c)\,dx={\frac {ax^{3}}{3}}+{\frac {bx^{2}}{2}}+cx+C}$

Fungsi Kubik

Contoh graf fungsi kubik

Fungsi kubik adalah fungsi-fungsi yang mempunyai 3 sebagai kuasa tertingginya. Bentuk fungsi ini adalah ${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ di mana ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dan ${\displaystyle d}$ adalah pemalar tetapi ${\displaystyle a\neq 0}$.

Terbitan Fungsi Kubik

Terbitan bagi fungsi kubik akan menghasilkan fungsi kuadratik.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)=3ax^{2}+2bx+c}$

Kamiran Fungsi Kubik

Kamiran bagi fungsi kubik akan menghasilkan fungsi kuartik.

${\displaystyle \int (ax^{3}+bx^{2}+cx+d)\,dx={\frac {ax^{4}}{4}}+{\frac {bx^{3}}{3}}+{\frac {cx^{2}}{2}}+dx+C}$

.

Fungsi Polinomial Kuasa-n

Fungsi polinomial kuasa-n adalah fungsi berpolinomial yang berada dalam bentuk ${\displaystyle f(x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\cdots +c_{0}x}$, di mana ${\displaystyle c_{n}}$ adalah pemalar atau pekali dan ${\displaystyle n}$ adalah kuasa berinteger tertinggi polinomial yang bukan negatif.

Semua fungsi polinomial selepas fungsi kubik dinamakan menggunakan kata awalan bahasa Latin dan Yunani. Ini adalah senarai namanya;

Jadual Fungsi Polinomial

Kuasa Tertinggi Fungsi Polinomial	Nama Fungsi	Bentuk Fungsi
${\displaystyle 0}$	Fungsi pemalar	${\displaystyle c_{0}}$
${\displaystyle 1}$	Fungsi linear	${\displaystyle c_{1}x+c_{0}}$
${\displaystyle 2}$	Fungsi kuadratik	${\displaystyle c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
${\displaystyle 3}$	Fungsi kubik	${\displaystyle c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
${\displaystyle 4}$	Fungsi kuartik	${\displaystyle c_{4}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
${\displaystyle 5}$	Fungsi kuintik	${\displaystyle c_{5}x^{5}+c_{4}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
${\displaystyle 6}$	Fungsi sekstik	${\displaystyle c_{6}x^{6}+c_{5}x^{5}+c_{4}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
${\displaystyle 7}$	Fungsi heptik	${\displaystyle c_{7}x^{7}+c_{6}x^{6}+c_{5}x^{5}+c_{4}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
${\displaystyle 8}$	Fungsi oktik	${\displaystyle c_{8}x^{8}+c_{7}x^{7}+c_{6}x^{6}+c_{5}x^{5}+c_{4}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$

Fungsi-fungsi ini mempunyai ciri-ciri yang serupa. Terbitan bagi suatu fungsi polinomial kuasa-${\displaystyle n}$ akan menghasilkan fungsi polinomial-(${\displaystyle n-1}$) manakala kamiran bagi suatu fungsi polinomial kuasa-${\displaystyle n}$ akan menghasilkan fungsi polinomial kuasa-(${\displaystyle n+1}$). Sebagai contoh, fungsi kubik. Terbitannya adalah fungsi kuadratik dan kamirannya adalah fungsi kuartik, iaitu fungsi yang mempunyai 4 sebagai kuasa tertingginya.^[1]

Juga, keadaan fungsi tersebut hanya benar jika ${\displaystyle c_{n}\neq 0}$.

Fungsi Trigonometrik Asas

Maklumat selanjutnya: Trigonometri

Fungsi trigonometrik asas merujuk kepada tiga fungsi asas yang berkaitkan sisi segi tiga sudut tegak. Fungsi-fungsi itu adalah sinus, kosinus dan tangen. Hipotenus adalah sisi terpanjang dalam segi tiga sudut tegak.

${\displaystyle \mathrm {sin} (\theta )={\frac {\mathrm {sisi} \,\mathrm {bertentangan} }{\mathrm {hipotenus} }}}$

${\displaystyle \mathrm {kos} (\theta )={\frac {\mathrm {sisi} \,\mathrm {bersebelahan} }{\mathrm {hipotenus} }}}$

${\displaystyle \mathrm {tan} (\theta )={\frac {\mathrm {sisi} \,\mathrm {bertentangan} }{\mathrm {sisi} \,\mathrm {bersebelahan} }}}$

Graf fungsi sinus dan kosinus dalam radian.

.

.

.

Rujukan

1. "Quartic Function - Roots, Graph, Domain, Range, and Examples". Math Monks (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2024-11-27.

Pautan luar

• Wolfram Mathworld