Теорија на веројатноста

Дијаграм на можните комбинации при фрлање на две коцки

Теорија на веројатноста — гранка на математиката која се занимава со изучување на веројатноста, односно анализа на случајни појави.

Математиката ја предочува веројатноста на некој настан (чие настапување е случајно) како реален број од затворениот интервал од 0 до 1. Веројатностите ${\displaystyle P(A)}$ им се препишуваат на настани ${\displaystyle A}$ според аксиомите на веројатноста.

Веројатноста дека тој настан ${\displaystyle A}$ ќе се случи под услов на познатото случување на настанот ${\displaystyle B}$ е условна веројатност на ${\displaystyle A}$ под услов ${\displaystyle B}$; неговата бројчена вредност е ${\displaystyle P(A\cap B)/P(B)}$ (сè додека ${\displaystyle P(B)}$ не е нула). Ако условната веројатност на ${\displaystyle A}$ под услов ${\displaystyle B}$ и иста што и („безусловната“) веројатност на ${\displaystyle A}$, тогаш ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ се нарекуваат независни настани. Дека оваа релација помеѓу ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$ каде A и B се независни настани.

Два клучни концепти во теоријата на веројатноста се случајната променлива и веројатносна распределба на случајна променлива.

Поапстрактен поглед на веројатноста

Дијаграм на стандардно отстапување

Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од Колмогоров во 1930-тите. Простор на веројатност е секоја тројка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, каде

• ${\displaystyle \Omega }$ е празно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ е σ-алгебра на подмножества на ${\displaystyle \Omega }$ - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи ${\displaystyle \Omega }$, дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или бесконечна) низа на настани е настан.
• ${\displaystyle P}$ е мера на веројатност на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, т.е., мера кај која ${\displaystyle P(\Omega )=1}$.

Треба да се спомене дека ${\displaystyle P}$ е функција дефинирана на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, а не на ${\displaystyle \Omega }$, и често не сочинуваат ни булеан ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbb {P} (\Omega )}$. Не секое множество исходи претставува настан.

Ако ${\displaystyle \Omega }$ е преброиво множество, тогаш речиси секогаш го дефинираме ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ како булеан на ${\displaystyle \Omega }$, т.е. ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbb {P} (\Omega )}$ кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со ${\displaystyle \Omega }$. Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и да напишеме само ${\displaystyle (\Omega ,P)}$ за да го дефинираме. Во друг случај, ако ${\displaystyle \Omega }$ е непреброиво множество и користиме ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbb {P} (\Omega )}$, тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста ${\displaystyle P}$ заради тоа што ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како Банах-Тарсковиот парадокс. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ (на пр. Борелова алггебра на ${\displaystyle \Omega }$, која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).

Случајна променлива ${\displaystyle X}$ е измерлива функција на ${\displaystyle \Omega }$. На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.

Ако ${\displaystyle X}$ е било која случајна променлива, нотацијата ${\displaystyle P(X\geq 60)}$, е стенографија за ${\displaystyle P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\geq 60\})}$, под претпоставка дека „${\displaystyle X\geq 60}$“ е „настан“.

За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете алгебра на случајни променливи.

Библиографија

• Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability
• Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Foundations of the Theory of Probability
• Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability
• Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
• Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
• Henk Tijms (2004) Understanding Probability

Поврзано

• Веројатност
• Случајност
• Стохастика