Коренување

Основно сметање
Собирање (+)
собирок + собирок =	збир
Одземање (−)
намаленик − намалител =	разлика
Делење (:)
деленик : делител =	количник
Множење (⋅)
множител ⋅ множеник =	производ
Степенување (^)
основа^степен =	степен
Коренување (√)
^показ√поткор. гол. =	корен
Логаритам
logосн(степен) =	показател

Корени на броевите од 0 до 10.

Коренување — математичка операција при која од некој број се вади корен, т.е. големина, која подигната на одреден степен го дава веќе дадениот број.^[1]

${\displaystyle r^{n}=x,}$

каде n е степен на коренот. Коренот со степен 2 се нарекува квадратен корен, а коренот со степен 3 е кубен корен. Корените со поголеми степени се изразуваат со редни броеви: „четврти корен“, „петнаесетти корен“ итн. Воопштено гласи n-ти корен.

На пример:

• 2 е квадратен корен од 4, бидејќи 2² = 4.
• −2 исто така е квадратен корен од 4, бидејќи (−2)² = 4.

Еден реален или комплексен број има n корени од степен n. Корените на 0 не се суштински различни (сите се 0), n n-ти корени на секој друг реален или комплексен број се разликуваат еден од друг. Ако n е парно, а поткорената големина е реална и позитивна, еден од неговите n-ти корени ќе биде позитивен, еден ќе биде негативен, а останатите ќе бидат комплексни, но не и реални; ако n е парно, а поткорената големина е реална и негативна, тогаш ниеден од n-тите корени нема да биде реален. Ако n е непарно, а поткорената големина е реална, еден n-ти корен ќе биде реален и со ист знак како поткорената големина, а сите други корени ќе се нереални.

Коренот се бележи со знак за корен или „радикал“^[2]${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$ или ${\displaystyle \surd {}}$, каде ${\displaystyle {\sqrt {x}}\!\,}$ и ${\displaystyle \surd x}$ конкретно означуваат квадратен корен, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}\!\,}$ означува кубен корен, ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}}$ означува четврти корен и така натаму. Во изразот ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$, n се нарекува (коренов) показател, ${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$ е знакот за корен , а x е поткорена големина. Кога под коренот ќе се стави број, мора да даде само еден резултат како функција, поради што се претпочита ненегативен реален корен, наречен главен n-ти корен. Неразложениот корен, особено кога го има симболот, е ирационален (сурд).^[3][4]

Во математичката анализа, коренот се смета за посебен случај на степенување, каде степенот е дропка:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{1/n}}$

Коренот е од особено значење во теоријата на бесконечните редови, каде полупречникот на конвергенција на еден степенов ред се одредува со т.н. Кошиев критериуим. Коренот важи и за комплексни броеви, при што комплексните корени од 1 играат важна улога во вишата математика. За да се утврди кои алгебарски броеви можат да се изразат со корени се применува Галоаовата теорија. Со неа се докажува и Абел-Руфиниевата теорема, која вели дека општата полиномна равенка од петти или повисок степен не може да се реши само со коренување - исход наречен „нерешливост на квинтиката“.

Дефиниција и запишување

Четирите четврти корени на −1,
од кои ниеден не е реален

Трите трети корени на −1,
од кои еден е негативен реален

n-тиот корен на еден број x (каде n е позитивен цел број) е број чија n-ти степен е x:

${\displaystyle r^{n}=x.\!\,}$

Секој позитивен реален број x има по еден позивитен n-ти корен, кој се запишува како ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$. Кога n е еднакво на 2, ова се нарекува квадратен корен, и n се изоставува. n-тиот корен може да се претстави и со степенување како x^1/n.

Кога n е парно, позитивните броеви исто така ќе имаат негативен n-ти корен, додека пак нагатигните нема да имаат реален n-ти корен. Кога n е непарно, секој негативен број x има реален негативен n-ти корен. На пример, −2 има реален 5-ти корен, ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}\,=-1{,}148698354\ldots }$ но −2 нема реални 6-ти корени.

Секој ненуларен број x, реален или комплексен, има n различни комплексни n-ти корени, вклучувајќи позитивни или негативни корени. n-ти корен од 0 е 0.

Кај највеќето броеви, n-тиот корен е ирационален. На пример,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1{,}414213562\ldots }$

Сите n-ти корени на целите броеви, или воопшто, на секој алгебарски број, се алгебарски.

Квадратен корен

Главна статија: Квадратен корен

Квадратен корен на еден број x е број што дигнат на квадрат го дава x:

${\displaystyle r^{2}=x.\!\,}$

Секој позитивен реален број има по два квадратни корена - позитивен и негативен. На пример, двата квадратни корена од 25 се 5 и −5. Позитивниот е главен и се бележи со знакот за корен:

${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.\!\,}$

Бидејќи секој реален број на квадрат дава позитивен реален број, негативните броеви немаат вистински квадратен корен. Меѓутоа, секој негативен број има по два имагинарни квадратни корени. На пример, квадратните корени од −25 се 5i и −5i, каде i (имагинарната единица) претставува квадратен корен од −1.

Кубен корен

Главна статија: Кубен корен

Кубен корен на еден број x е број што дигнат на куб (трет степен) го дава x:

${\displaystyle r^{3}=x.\!\,}$

Секој реален број x има само по еден реален кубен корен, кој се бележи како ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$. На пример,

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}\,=\,2\quad {\text{, a}}\quad {\sqrt[{3}]{-8}}\,=-2.}$

Секој реален број има уште по два комплексни кубни корени.

Идентитети и својства

Секој позитивен реален број има позитивен n-ти корен, чии правила се прости:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\,,}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\,.}$

Искористувајќи го показателот од ${\displaystyle x^{1/n}}$, полесно можеме да ги поништиме степените и корените.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left(a^{m}\right)^{\frac {1}{n}}=a^{\frac {m}{n}}.}$

Може да се јават проблеми при вадењето на n-ти корен од негатвен или комплексен број. На пример:

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=-1}$

додека пак

${\displaystyle {\sqrt {-1\times -1}}=1}$

кога се зема главната вредност на корените.

Бесконечни редови

Коренот може да се изрази и како бесконечен ред:

${\displaystyle (1+x)^{s/t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}$

со ${\displaystyle |x|<1}$. Овој израз може да се изведе од биномниот ред.

Знаци за корен

Кодовите на знаците за корен се следниве:

Назив	Знак	Уникод	ASCII	URL	HTML (други)
квадратен корен	√	U+221A	√	%E2%88%9A	√
кубен корен	∛	U+221B	∛	%E2%88%9B
четврти корен	∜	U+221C	∜	%E2%88%9C

Поврзано

• Ирационален број
• Алгебарски број
• Степенување
• Тетрација

Наводи

1. „корен“ - Дигитален речник на македонскиот јазик
2. „радикал“ - Дигитален речник на македонскиот јазик
3. Bansal, R K (2006). New Approach to CBSE Mathematics IX. Laxmi Publications. стр. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.
4. Silver, Howard A. (1986). Algebra and trigonometry. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. ISBN 0-13-021270-9.

Надворешни врски

• Задачи со коренување - СОУ „Миле Јаневски Џингар“ PDF (174 КБ)
• Нумерички методи на коренување - Технички факултет, Универзитет „Св. Климент Охридски“ PDF (112 КБ)