Њутнова теорема (четириаголник)

P лежи на Њутновата права EF

Во Евклидовата геометрија, Њутновата теорема вели дека во секој тангентен четириаголник освен кај ромб, центарот на кружницата лежи на Њутновата права.

Нека ABCD е тангентен четириаголник со најмногу еден пар паралелни страни. Понатаму, нека E и F се средишните точки на неговите дијагонали AC и BD и нека P е центарот на неговата кружница. Во таквата конфигурација, точката P се наоѓа на Њутновата права - правата EF која ги поврзува средишните точки на дијагоналите.

Тангентен четириаголник со два пара паралелни страни е ромб. Во овој случај и средните точки и центарот на кружницата се совпаѓаат и по дефиниција тогаш Њутновата права не е определена.

Њутновата теорема лесно може да се изведе од теоремата на Ане имајќи предвид дека во тангентните четириаголници комбинираните должини на спротивните страни се еднакви (Теорема на Пито: ${\displaystyle a+c=b+d}$). Сега, според теоремата на Ан, која кажува дека збирот на плоштините на спротивните триаголници PAD и PBC и збирот на плоштините на триаголниците PAB и PCD се еднакви, доволно е за доказ дека P лежи на EF. Ако r е радиусот на впишаната кружница, тогаш r е и висината на сите четири триаголника.

${\displaystyle {\begin{aligned}&P(\triangle PAB)+P(\triangle PCD)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}ra+{\tfrac {1}{2}}rc={\tfrac {1}{2}}r(a+c)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}r(b+d)={\tfrac {1}{2}}rb+{\tfrac {1}{2}}rd\\[5pt]={}&P(\triangle PBC)+P(\triangle PAD)\end{aligned}}}$