Екстремни вредности

Екстремни вредности на функција се одредуваат така што првиот извод се израмнува со 0.

Пример: Најди ги екстремните вредности на функцијата ${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$

Првиот извод на функцијата е ${\displaystyle f'(x)=15x^{2}}$

Сега го израмнуваме изводот на 0:

${\displaystyle 15x^{2}=0}$ → ${\displaystyle x=0}$

На оваа функција постои само една екстремна вредност и тоа A(0, f(0)).

Откако ги најдовме екстремните вредности можеме да ги одредиме минимумот и максимумот на функцијата со помош на вториот ивод.

Во вториот извод ја земаме екстремната вредност А како аргумент.

Ако вредноста на вториот извод во дадената екстремна вредност е:

1) Поголема од нула следи дека таа екстремна вредност е минимумот на функцијата

2) Помала од нула следи дека таа екстремна вредност е максимумот на функцијата

3) Еднаква на нула - функцијата има превој

${\displaystyle f''(x)=30x}$

${\displaystyle f''(0)=0}$

Превој во екстремната точка A(0, 0)

Втор пример: Одреди ги минимумот и максимумот на функцијата ${\displaystyle f(x)=6x^{2}+3x}$

Го наоѓаме првиот извод и го израмнуваме со 0:

${\displaystyle f'(x)=12x+3=0}$

${\displaystyle 12x=-3}$ → ${\displaystyle x=-1/4}$

Оваа екстремна точка има вредност A(-1/4, f(-1/4)) или A(-1/4, -3/8).

Сега со наоѓање на вториот извод можеме да ги одредиме минимумот и максимумот.

${\displaystyle f''(x)=12}$

${\displaystyle f''(-1/4)=12}$ → ${\displaystyle 12>0}$ → A(-1/4, -3/8) е минимум на функцијата f(x).