Бездимензионална величина — величина без физичка димензија. Затоа оваа величина е „чист“ број, и како таков секогаш има 1 димензија.[1] Бездимензионалните величини наоѓаат широка примена во математиката, физиката, инженерството, економијата, но и во секојдневниот живот (на пр. броење). Постојат разни добро познати величини кои се бездимензионални. Такви примери се π, e и φ.
Бездимензионалните величини честопати се дефинираат како производи или соодноси на величини што не се бездимензионални, но чии димензии се поништуваат при помножување на нивните степени. Ова е случај, да речеме, кај напорот што изразува деформација во механиката. Тој се изразува како промена на должината во однос на првичната должина но, бидејќи двете величини имаат димензии L (должина), резултатот што го добиваме е бездимензионална величина.
Својства
Иако бездимензионалната величина нема физичка димензија, таа сепак може да има бездимензионални единици (т.е. нема да биде безединична). За да се изложи изразената величина (на пр. масна дропка или молска дропка), понекогаш е полесно да се користат истите единици во броителот и именителот (kg/kg или mol/mol). Величината може да е дадена и како сооднос помеѓу две различни единици што имаат иста димензија (на пр. светлосни години врз метри). Ова се среќава во пресметките на наклон во графици и при претворање на единици. Ваквиот запис не означува присуство на физички димензии, туку претставува само вообичаен начин на запишување. Други позастапени бездимензионални единици се % (= 0,01), ‰ (= 0,001), ppm (= 10−6), ppb (= 10−9), ppt (= 10−12) и единиците за агол (степен, радијан, град). Бездимензионални се и единиците за бројна количина како дузината и гросот.
Соодносот помеѓшу две величини со иста димензија е бездимензионален, и има една иста вредност без оглед на тоа кои единици се користат. На пример, ако телото A применува сила со величина F врз тело B, а B применува сила со величина f врз A, тогаш соодносот F/f во секој случај ќе биде еднаков на 1, без разлика на тоа со кои единици ги изразуваме F и f. Ова е основно својство на бездимензионалната сразмерност кое следи од претположбата дека физичките закони се независни од системот на единици што ги изразува. Во овој случај, ако соодносот F/f не е секогаш 1, туку се менува при промена на системот (на пр. од SI на СГС), тоа би значело противречност во Третиот Њутнов закон, кој е фундаментална хипотеза. Претположбата дека физичките закони не се менуваат со смена на мерниот систем е тесноповрзана и со Бакингемовата пи-теорема. Оваа теорема цели дека секој физички закон може да се изрази како идентитет (секогаш точна равенка) користејќи само бездимензионални комбинации (соодноси или производи) на променливите се во однос по законот (на пр. притисокот и зафатнината се во поврзани согласно Бојловиот закон во обратнопропорционален однос). Ако вредностите на бездимензионалните комбинации се сменат со смената на системот на единици, тогаш равенката нема да биде идентитет, и затоа нема да важи Бакингемовата теорема.
Бакингемова π-теорема
Друго следство од Бакингемовата пи-теорема за димензионалната анализа е тоа што функционалната зависност помеѓу извесен број (на пр. n) на променливи може да се сведе на бројот (ан пр. k) на независни димензии што се јавуваат во тие променливи за да се добие множество од p = n − k независни бездимензионални величини. Кога се вршат опити, се зема дека разните системи што ги опишува една иста бездимензионална величина се истоветни.
Пример
Потрошувачката на струја на една магнетна мешалка со извесен облик е функција на густината и вискозноста на течноста што се меша, големината на мешалката (нејзиниот пречник) и брзината. Затоа, имаме n = 5 променливи што го претставуваат примерот.
Тие n = 5 променливи се добиени од k = 3 димензии:
должина: L (м)
време: T (с)
маса: M (кг).
Според π-теоремата, n = 5 променливи може да се сведе со k = 3 димензии за да се добие p = n − k = 5 − 3 = 2 независни бездимензионални броеви кои, во случајов, ја претставуваат мешалката:
Њутнов број (ја опишува мешалката, земајќи ја предвид и густината на течноста)
Примери
Да го погледаме примерот: Марија вели, „Од секои 10 јаболка што ќе ги наберам, 1 е гнило.“. Соодносот помеѓу гнилите и набраните јаболка е (1 јаболко) / (10 јаболка) = 0,1 = 10%, што претставува бездимензионална величина.
Уште еден потипичен пример во физиката и инженерството е изразувањето на плоснат агол. Аголот се пресметува како сооднос помеѓу должината на лакот на кружницата опфатен од агол чие теме е нејзино средиште на и некоја друга должина. Соодносот на должината поделена со должина е бездимензионален. Кога ја користиме единицата радијан, должината што се споредува е должината на полупречникот на кружницата. Кога користиме степени, должината на лакот се споредува со 1⁄360 од обиколката на кружницата.
Во случај на бездимензионалната величина π, кој е сооднос помеѓу обиколката на кружницата и нејзиниот пречник, бројот ќе биде постојан без разлика на единиците со кои ги изразуваме, под услов да ја користиме истата единица за двете.
