Lagranža teorēma

Ja ${\displaystyle f}$ ir nepārtraukta un diferencējama jebkur intervālā ${\displaystyle (a;b)}$, tad pastāv tāds ${\displaystyle c}$, ka šī punkta atvasinājuma taisne būs paralēla sekantes taisnei, kas savieno punktus ${\displaystyle a}$ un ${\displaystyle b}$

Lagranža teorēma apgalvo, ka, ja funkcija ${\displaystyle f}$ ir nepārtraukta nogriežņa intervālā ${\displaystyle [a;b]}$ un diferencējamā intervālā ${\displaystyle (a;b)}$, tad eksistē tāds punkts ${\displaystyle c\in (a;b)}$, ka

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}$.

Mehāniski to var definēt kā lai ${\displaystyle f(t)}$- punkta attālums momentā ${\displaystyle t}$ no sākumpunkta. Tad f(b) – f(a)${\displaystyle f(b)-f(a)}$ ir attālums no momenta ${\displaystyle t=a}$ līdz momentam ${\displaystyle t=b}$. Attiecība ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ – vidējais ātrums šajā intervālā. Tātad, ja ķermena ātrums noteikts jebkurā laika momentā ${\displaystyle t\in (a,b)}$, tad kaut kādā momentā tas būs vienāds ar savu vidējo vienību šajā intervālā.

Pierādījums

Funkcijai ar vienu mainīgo:

Ievadām funkciju ${\displaystyle F(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$. Priekš tās ir izpildīti Rolla teorēmas noteikumi: nogriežņa galapunktos vienības ir vienādas ar nulli.

Izmantojot doto teorēmu, iegūsim, ka eksistē punkts ${\displaystyle c}$, kurā funkcijas ${\displaystyle F}$ atvasinājums ir vienāds ar nulli:

${\displaystyle f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\Leftrightarrow {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c),}$

Galīgie un bezgalīgie mazie pieaugumi

Galīgo pieaugumu var skaidrot ar to faktu, ka ja formulā ${\displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)}$, kreiso pusi apzīmējam kā ${\displaystyle \Delta y}$, bet labajā pusē faktoru ${\displaystyle (b-a)}$ apzīmējam ar ${\displaystyle \Delta x}$, tad mēs iegūsim formulu: ${\displaystyle \Delta y=f'(c)\Delta x}$

Un tā savukārt ir ļoti līdzīga ar diferenciāla definīciju.

${\displaystyle dy=f'(x)dx}$

Pielikums

• Lagranža teorēma var būt pielietota, nosakot nenoteiktību priekš robežām.

Variācijas un apkopojums

Lagranža teorēma par galīgo pieaugumu – viena no svarīgākajām, galvenā teorēma visā diferenciālajā sistēmā.

Pierādījums. Visiem ${\displaystyle x}$ un ${\displaystyle y}$ piemīt punkts ${\displaystyle c}$, tāda kas ${\displaystyle f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)=0}$.

Tātad pie visiem ${\displaystyle x}$ un ${\displaystyle y}$ būs patiesā vineādība kur ${\displaystyle f(y)=f(x)}$.

Analoģiski pierādās arī monotonitātes kritērijs priekš diferenciālām funkcijām. Diferencējama funkcija ${\displaystyle f(x)}$ pieaug/dilst nogrieznī ${\displaystyle [a,b]}$ tikai tad, kad tās ${\displaystyle f'(x)}$ atvasinājums uz tā nogriežņa nav ne negatīvs/ne pozitīvs.

• No Teilora formulas ar atlikuma locekli, kad ${\displaystyle n=1}$ iegūstam Lagranža formulu par galīgo pieaugumu. ${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x){\frac {h^{2}}{2}}+...+f^{(n-1)}(x){\frac {h^{n-1}}{(n-1)!}}+f^{(n)}(x+\theta h){\frac {h^{n}}{n!}}}$

• Ja funkcija ar ${\displaystyle n}$ mainīgiem ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ divreiz deferencējama punkta o apgabalā, tad šajā punktā ir patiesa vienādība:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$

Pierādījums priekš ${\displaystyle n=2}$. Piefiksēsim vienību ${\displaystyle \Delta x}$ un ${\displaystyle \Delta y}$ un aplūkosim dažveidīgus operātorus:

${\displaystyle \Delta _{x}:f(x,y)\rightarrow {\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}}$ un ${\displaystyle \Delta _{y}:f(x,y)\rightarrow {\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}}$

Pēc Lagrandža teorēmas eksistē skaitļi 0${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}\in (0,1)}$, tādi ka: ${\displaystyle \Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y+\theta _{2}\Delta y)\rightarrow {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)}$

Pie ${\displaystyle (\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0}$ nepārtrauktības spēkā otro funkciju atvasinājumu ${\displaystyle f(x,y)}$.

Analoģiski pierādās, ka ${\displaystyle \Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)\rightarrow {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}$.

Bet tā kā ${\displaystyle \Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)}$, tad tās robežas sakrīt.

Atsauces