Fibonači skaitļi

Kvadrāti, kuru malu garumi atbilst secīgiem Fibonači virknes locekļiem.

Matemātikā par Fibonači skaitļiem sauc virknes

${\displaystyle 1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\ldots \,}$

elementus. Tās pirmie divi locekļi ir vienādi ar 1, bet katru nākamo locekli iegūst saskaitot divus iepriekšējos. Dažreiz par pirmajiem diviem virknes elementiem izvēlas skaitļus 0 un 1. Šādi iegūtā virkne atšķiras tikai ar to, ka tā sākas ar nulli:

${\displaystyle 0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\ldots \,}$

.

Parasti n-to Fibonači skaitli apzīmē ar ${\displaystyle f_{n}}$ vai ${\displaystyle F_{n}}$.

Definīcija

Formāli par Fibonači skaitļiem sauc rekurenta vienādojuma

${\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}}$

atrisinājumu pie sākuma nosacījumiem

${\displaystyle f_{1}=f_{2}=1.\,}$

To var pierakstīt arī šādi:

${\displaystyle f_{n}={\begin{cases}1,&{\text{ ja }}n=1{\text{ vai }}n=2;\\f_{n-1}+f_{n-2},&{\text{ ja }}n>2.\end{cases}}}$

Fibonači virkni var turpināt arī pretējā virzienā, tas ir, aprēķināt f_n, kur n ≤ 0. Piemēram, f₀ = 0, jo 0 + 1 = 1 (f₀ + f₁ = f₂). Līdzīgi, f₋₁ = 1, jo 1 + 0 = 1 (f₋₁ + f₀ = f₁). Lai atrastu vispārīgu virknes locekli ar negatīvu kārtas numuru, Fibonači skaitļus definējošo sakarību pārraksta šādi: f_n−2 = f_n − f_n−1. Tādējādi iegūst virkni, kas ir bezgalīga abos virzienos:

n	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
fn	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Nav grūti ievērot, ka f_n un f_−n sakrīt, ja n ir nepāra skaitlis, bet atšķiras ar zīmi, ja n ir pāra. Formāli to var pierakstīt šādi:

${\displaystyle f_{-n}=(-1)^{n+1}f_{n}.\,}$

Binē formula

Lai aprēķinātu n-to Fibonači skaitli f_n, nav nepieciešams aprēķināt visus iepriekšējos Fibonači skaitļus. To var iegūt uzreiz ar Binē formulas palīdzību:

${\displaystyle f_{n}={\frac {(1+{\sqrt {5}})^{n}-(1-{\sqrt {5}})^{n}}{2^{n}{\sqrt {5}}}}.}$

Binē formulu var pārrakstīt arī šādi:

${\displaystyle f_{n}={\frac {\varphi ^{n}-{\bar {\varphi }}^{n}}{\sqrt {5}}},}$

kur

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\varphi &={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx &1&{,}6180339887,\\{\bar {\varphi }}&={\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\approx &-0&{,}6180339887=1-\varphi ,\end{alignedat}}}$

ir polinoma x² = x + 1 saknes un ${\displaystyle \varphi \,}$ ir zelta griezums.

Binē formula nosaukta par godu Žakam Binē, kurš to ieguva 1843. gadā, lai gan tā bijusi zināma jau Eileram, Bernulli un Muavram vairāk nekā gadsimtu agrāk.^[1]

Binē formulas pierādījums

Lai pierādītu Binē formulu, visvienkāršāk ir izmantot sakarību starp Fibonači skaitļiem un zelta griezumu. Apskatīsim polinomu x² = x + 1, kura saknes ir ${\displaystyle \varphi \,}$ un ${\displaystyle {\bar {\varphi }}}$, un pierādīsim, ka tas ģenerē rekurento sakarību f_n = f_n−1 + f_n−2.

Apgalvojums: Ja x² = x + 1, tad xⁿ = f_n x + f_n−1, kur f_n ir n-tais Fibonači skaitlis.

Pierādījums: Izmantosim matemātisko indukciju. Indukcijas bāze: Apgalvojums ir spēkā pie n = 2, jo f₂ = f₁ = 1. Induktīvā pāreja: Pieņemsim, ka apgalvojums ir spēkā pie n − 1, un pierādīsim, ka tas ir spēkā arī pie n. Pēc induktīvā pieņēmuma

${\displaystyle x^{n}=x\cdot x^{n-1}=x(f_{n-1}x+f_{n-2})=f_{n-1}x^{2}+f_{n-2}x.\,}$

Izmantojot to, ka x² = x + 1, iegūstam

${\displaystyle f_{n-1}(x+1)+f_{n-2}x=(f_{n-1}+f_{n-2})x+f_{n-1}.\,}$

Pēc Fibonači skaitļu definīcijas f_n−1 + f_n−2 = f_n, tāpēc iegūstam

${\displaystyle x^{n}=f_{n}x+f_{n-1}.\,}$   □

Apgalvojums: ${\displaystyle f_{n}=(\varphi ^{n}-{\bar {\varphi }}^{n})/{\sqrt {5}}.}$

Pierādījums: Tā kā ${\displaystyle \varphi \,}$ un ${\displaystyle {\bar {\varphi }}}$ ir polinoma x² = x + 1 saknes, no iepriekš pierādītā apgalvojuma izriet, ka

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=f_{n}\varphi +f_{n-1},\\{\bar {\varphi }}^{n}&=f_{n}{\bar {\varphi }}+f_{n-1}.\end{aligned}}}$

Atņemot šos vienādojumus, iegūstam

${\displaystyle \varphi ^{n}-{\bar {\varphi }}^{n}=f_{n}(\varphi -{\bar {\varphi }}).}$

Izmantojot to, ka

${\displaystyle \varphi -{\bar {\varphi }}=\varphi -(1-\varphi )=2\varphi -1={\sqrt {5}},}$

iegūstam prasīto.   □

Fibonači skaitļu īpašības

Divu secīgu Fibonači skaitļu attiecība (lielākajam pret mazāko) ir tuva zelta griezumam 1,618… un ir tā labākie tuvinājumi. Piemēram, 8 / 5 = 1,6 un 13 / 8 = 1,625. Šīs attiecības kļūst pēc patikas tuva zelta griezumam, izvēloties pietiekoši lielus Fibonači skaitļus. Matemātikā šādu situāciju raksturo ar robežas palīdzību:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}=\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Jebkuri divi secīgi Fibonači skaitļi ir savstarpēji pirmskaitļi:

${\displaystyle \operatorname {LKD} (f_{n},f_{n+1})=1,}$

kur "LKD" apzīmē lielāko kopīgo dalītāju.

Dažas formulas

Fibonači skaitļiem ir spēkā dažādas sakarības. Šeit minēsim dažas no tām:

${\displaystyle f_{n}f_{n+2}-(f_{n+1})^{2}=(-1)^{n+1}\,}$

${\displaystyle f_{1}+f_{2}+...+f_{n}=f_{n+2}-1\,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{f_{i}}^{2}=f_{n}f_{n+1}}$.

Fibonači spirāle

Fibonači spirāle sastāv no riņķa līnijas lokiem, kas ievilkti kvadrātos, kuru malu garumi atbilst secīgiem Fibonači virknes locekļiem.

Ar kvadrātiem, kuru malu garumi atbilst Fibonači virknes locekļiem f_n, kur n = 1, 2, 3, …, var pilnībā noklāt plakni, ja tos izvieto spirāles veidā (skatīt attēlu). Veidojot šo izkārtojumu, kvadrāts ar kārtas numuru n tiek novietots tā, lai tam būtu kopīga mala ar kvadrātiem, kuru kārtas numuri ir n−1, n−3 un n−4. Izmantojot Fibonači skaitļu definīciju, ir viegli pārliecināties, ka minētie kvadrāti sader kopā, jo

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}&=f_{n-1}+f_{n-2}\\&=f_{n-1}+f_{n-3}+f_{n-4}.\end{aligned}}}$

Piemēram, ja n = 6, iegūstam f₆ = f₅ + f₃ + f₂ jeb 8 = 5 + 2 + 1.

Ja katrā no kvadrātiem ievelk 1/4 no riņķa līnijas, kuras rādiuss sakrīt ar kvadrāta malas garumu un kuras centrs atrodas attiecīgajā kvadrāta virsotnē, iegūst Fibonači spirāli (skatīt attēlu). Šī spirāle ir ļoti līdzīga logaritmiskajai spirālei, kas pazīstama ar nosaukumu zelta spirāle. Fibonači spirāle nedaudz atšķiras no zelta spirāles, jo secīgu Fibonači skaitļu attiecība tikai aptuveni sakrīt ar zelta griezumu.

Fibonači skaitļi ārpus matemātikas

Dabā

Secīgu Fibonači skaitļu pāri vai pat trīs secīgi Fibonači skaitļi nereti ir novērojami dabā. Zinātnieki ir izveidojuši matemātiskus modeļus, ar kuru palīdzību tiek mēģināts izskaidrot Fibonači skaitļu parādīšanos dabā.^[2][3][4] Tiesa, dažreiz apgalvojumi par zelta griezuma un Fibonači skaitļu parādīšanos dabā ir pārsteidzīgi.^[5] Piemēram, nereti tiek apgalvots, ka secīgu falangu (pirksta kaulu) garumu attiecība cilvēka plaukstā atbilst zelta griezumam vai secīgiem Fibonači skaitļiem.^[6][7] Pirmais šādu apgalvojumu 1973. gadā izteicis roku ķirurģijas speciālists Viljams Litlers (William Littler).^[8] Vēlākos pētījumos gan šis apgalvojums nav apstiprinājies.^[9][10][11]

Secīgu Fibonači skaitļu pāri (spirāļu skaits)

Spirāļu skaits čiekuram.

Fibonači skaitļi ļoti bieži ir novērojami dažādu dabā sastopamu spirāļu parametros. Šādas spirāles ir redzamas, piemēram, čiekuriem, saulespuķēm un ananasiem, un tās sauc par Fermā spirālēm (nejaukt ar Fibonači spirāli).^[12] Parasti šo spirāļu skaits pulksteņa rādītāja kustības virzienā un pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam atbilst diviem secīgiem Fibonači skaitļiem.^[13] Šīs parādības izskaidrošanai zinātnieki ir izveidojuši matemātiskus modeļus.^[2][3][4]

Laboratorijas apstākļos līdzīgas spirāles ir novērotas arī mikrostruktūrām, kas izgatavotas no neorganiskiem materiāliem. Atdzesējot koniskas formas substrātu, uz kura uzklātas silīcija monoksīda (SiO) un sudraba oksīda (Ag₂O) kārtiņas, uz tā izveidojas izciļņi.^[14] Eksperimentos noskaidrots, ka minimālās enerģijas konfigurācijai atbilst spirālveida izciļņu izvietojums, turklāt spirāļu skaits pulksteņa rādītāja kustības virzienā un pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam atbilst diviem secīgiem Fibonači skaitļiem — eksperimentos novērotie Fibonači skaitļu pāri ir (5, 8), (8, 13) un (13, 21).^[15]

Eonija 8 spirāles vienā virzienā 13 spirāles otrā virzienā

Kaktuss 8 spirāles vienā virzienā 13 spirāles otrā virzienā

Trīs secīgi Fibonači skaitļi

Lapu novietojums uz stumbra

Lapu novietojums uz auga stumbra bieži vien arī ir saistīts ar Fibonači skaitļiem. Lai šo saistību pārbaudītu, uz auga stumbra ir jāizvēlas divas lapas, kas atrodas tieši viena virs otras. Tad šādi trīs lielumi parasti atbilst trim secīgiem Fibonači skaitļiem:^[16]

• pilnu apgriezienu skaits, kas jāveic, lai nokļūtu no vienas izvēlētās lapas uz otru, ejot pulksteņa rādītāja kustības virzienā,
• pilnu apgriezienu skaits no vienas lapas līdz otrai, ejot pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam,
• kopējais lapu skaits attiecīgajā posmā, ieskaitot vienu no izvēlētajām lapām.

Līdzīga īpašība ir novērota arī eksperimentāli ar tā saucamā "magnētiskā kaktusa" palīdzību.^[17]

Ananasa spirāles

Trīs secīgus Fibonači skaitļus parasti iegūst arī, skaitot trīs dažādos virzienos esošo spirāļu skaitu ananasam.^[2][12]

Mākslā

Itāļu mākslinieks Mario Merz 1994. gadā uz skursteņa Turku, Somijā izvietoja neona spuldzes, kas attēlo Fibonači skaitļus.^[18]

Fibonači skaitļi dažreiz apzināti tiek lietoti arī mūzikā. Piemēram, tos savos darbos lietojis latviešu izcelsmes amerikāņu komponists Gundaris Pone.^[19]

Arhitektūrā

Dažreiz Fibonači skaitļi un zelta spirāle (vai tās tuvinājums — Fibonači spirāle) apzināti tiek lietoti arhitektūrā. Piemēram:

• Eden Project kompleksā ietilpstošās ēkas The Core^[20] spirālveida jumts ir veidots imitējot dabā sastopamās formas^[21] un tajā ir izmantotas Fermā spirāles, kuru skaits dažādos virzienos atbilst secīgiem Fibonači skaitļiem (21 un 34).^[22] Ēka atrodas Anglijā un to 2006. gada 1. jūnijā atklāja anglijas karaliene.^[23]
• Bristoles universitātes nanozinātnes un kvantu informācijas centra (The Centre for Nanoscience and Quantum Information) fasādē izmantots motīvs, kura pamatā ir Fibonači skaitļi.^[24] Ēka atrodas Bristolē, Anglijā un tika atklāta 2009. gada maijā.
• Fibonači skaitļi ir sastopami arī ainavu arhitektūrā. Piemēram, Kalifornijas Politehniskās universitātes Inženierzinātņu koledžas centrālo laukumu caurvij Fibonači spirāle.^[25]

Literatūrā

Fibonači skaitļi vairākkārt pieminēti Dena Brauna sarakstītajā grāmatā "da Vinči kods",^[26] taču ne visi grāmatā minētie fakti, kas saistīti ar Fibonači skaitļiem un zelta griezumu, ir patiesi.^[27] Pirmo reizi Fibonači skaitļi parādās mistiskajā ziņojumā, ko atstājis mirušais Sofijas Nevē tēvs un kuru romāna galvenie varoņi Roberts Lengdons un Sofija Nevē cenšas atšifrēt:

“

13-3-2-21-1-1-8-5 O, Draconian devil! Oh, lame saint!

”

Ja ziņojuma pirmajā rindiņā esošos skaitļus sakārto augošā secībā, iegūst Fibonači virknes pirmos locekļus. Līdzīgi, otrajā un trešajā rindiņā esošais teksts ir anagrammas vārdiem "Leonardo da Vinci" un "The Mona Lisa".

Ekonomikā

Fibonači skaitļus un zelta griezumu mēdz pielietot arī Forex valūtu tirgos, lai analizētu tirgu un prognozētu tā tālāko uzvedību, vai tieši pretēji — izvērtētu iepriekš notikušo attīstību.^[28]

Vēsture

Lapa no Fibonači grāmatas Liber Abaci.

Fibonači.

Fibonači skaitļi nosaukti par godu itāļu matemātiķim Fibonači (pazīstams arī kā Leonardo no Pizas). Tie pieminēti viņa grāmatā Liber Abaci, kas sarakstīta 1202. gadā (attēlā redzama lapa no šīs grāmatas — tās labajā pusē, rāmītī, ar sarkanu tinti uzrakstīti Fibonači virknes pirmie locekļi). Indiešu matemātiķiem Fibonači skaitļi bija zināmi vēl pirms tam.

Skatīt arī

• Zelta griezums
• Lukasa skaitļi
• Katalāna skaitļi

Atsauces

1. Eric W. Weisstein, Binet's Fibonacci Number Formula, MathWorld.
2. H.S.M., Coxeter (1989), Introduction to Geometry (2nd izd.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0471504580, 11.5 Phyllotaxis, 169. lpp.
3. Douady, S.; Couder, Y. (1996), "Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process", Journal of Theoretical Biology 178 (178): 255–274, doi:10.1006/jtbi.1996.0026. Atjaunināts: 2006. gada 22. maijā.
4. Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990), The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, ISBN 9780387972978, 4. Phyllotaxis, 99. lpp.
5. Ron Knott, Always Fibonacci? Arhivēts 2009. gada 7. septembrī, Wayback Machine vietnē., December 16, 2008.
6. Nikhat Parveen, Fibonacci in Nature Arhivēts 2009. gada 22. augustā, Wayback Machine vietnē..
7. Alex, Scott, Alex, Fibo-site Arhivēts 2009. gada 22. jūnijā, Wayback Machine vietnē..
8. Littler, William J. (1973), "On The Adaptability of Man's Hand (With Reference to the Equiangular Curve)", Hand 5: 187–191, doi:10.1016/0072-968X(73)90027-2.
9. Ron Knott, Fibonacci Fingers? Arhivēts 2009. gada 7. septembrī, Wayback Machine vietnē., December 16, 2008.
10. Park, Andrew E.; Fernandez, John J.; Schmedders, Karl; Cohen, Mark S., "The Fibonacci Sequence: Relationship to the Human Hand", The Journal of Hand Surgery 28 (1): 157–160, doi:10.1053/jhsu.2003.50000.
11. Hamilton, R.; Dunsmuir, R.A. (December 2002), "Radiographic Assessment of the Relative Lengths of the Bones of the Fingers of the Human Hand", The Journal of Hand Surgery 27 (6): 546–548, doi:10.1054/jhsb.2002.0822.
12. Jill Britton, Fibonacci Numbers in Nature Arhivēts 2016. gada 5. septembrī, Wayback Machine vietnē., May 7, 2005.
13. Eric W. Weisstein, Phyllotaxis, MathWorld.
14. Lisa Zyga, Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature Arhivēts 2009. gada 11. februārī, Wayback Machine vietnē., PhysOrg.com, May 1, 2007.
15. The Chinese Academy of Sciences, Fibonacci series on microstructures^{[novecojusi saite]}, PhysOrg.com, August 18, 2005.
16. Ron Knott, Fibonacci Numbers and Nature Arhivēts 2009. gada 7. septembrī, Wayback Machine vietnē., December 16, 2008.
17. Lisa Zyga, Magnetic Cactus Experimentally Demonstrates Mathematical Plant Patterns^{[novecojusi saite]}, PhysOrg.com, May 20, 2009.
18. Huylebrouck, Dirk; Gyllenberg, Mats; Sigmund, Karl (2000), "The Fibonacci Chimney", The Mathematical Intelligencer 22 (4): 46, ISSN 0343-6993^{[novecojusi saite]}.
19. Baiba Kurpniece, Latviešu mūzikas citādības dimensija. Gundaris Pone^{[novecojusi saite]}, Mūzikas Saule, Aprīlis/Maijs 2005.
20. Frederick Smith, Peter (2007), Sustainability at the Cutting Edge: Emerging technologies for low energy buildings (2nd izd.), Elsevier, ISBN 0750683007, 151. lpp.
21. The Core Arhivēts 2009. gada 24. jūlijā, Wayback Machine vietnē., Eden Project.
22. Marianne Freiberger, Rachel Thomas, Bridges: mathematical connections in art and music Arhivēts 2009. gada 22. oktobrī, Wayback Machine vietnē., plus.maths.org.
23. David Rowe, The Queen to open the Eden Project's "Da Vinci Code Building" Arhivēts 2009. gada 8. februārī, Wayback Machine vietnē., South West RDA, June 1, 2006.
24. Fibonacci sequence fronts new nanoscience building at Bristol University^{[novecojusi saite]}, PhysOrg.com, June 5, 2008.
25. Engineering Plaza - Cal Poly Arhivēts 2009. gada 6. augustā, Wayback Machine vietnē..
26. Keith Devlin, Cracking The Da Vinci Code, June 26, 2004.
27. Grāmatā minētais apgalvojums, ka sievišķā un vīrišķā dzimuma bišu skaitu attiecība bišu saimē ir vienāda ar zelta griezumu, nav patiess. Skatīt: Harold Thimbleby, “B–” for The da Vinci Code Arhivēts 2016. gada 5. martā, Wayback Machine vietnē..
28. Gartley cenu modeļi, wallstreet.lv.

Papildu literatūra

Fibonači skaitļi dabā:

• H.S.M., Coxeter (1989), Introduction to Geometry (2nd izd.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0471504580, 11.5 Phyllotaxis, 169. lpp.
• Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990), The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, ISBN 9780387972978.
• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section. Logos (2014), 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)

Ārējās saites

Fibonači skaitļi:

• Pravin Chandra, Eric W. Weisstein, Fibonacci Number, MathWorld.
• Fibonacci sequence Arhivēts 2009. gada 16. septembrī, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.

Binē formula:

• Eric W. Weisstein, Binet's Fibonacci Number Formula, MathWorld.
• Derivation of Binet formula Arhivēts 2009. gada 17. oktobrī, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.

Fibonači skaitļi dabā:

• Eric W. Weisstein, Phyllotaxis, MathWorld.
• Jill Britton, Fibonacci Numbers in Nature, May 7, 2005.
• Ron Knott, Fibonacci Numbers and Nature Arhivēts 2009. gada 7. septembrī, Wayback Machine vietnē., December 16, 2008.
• John R. Simmons, Fibonacci Numbers and Nature Arhivēts 2009. gada 22. augustā, Wayback Machine vietnē..
• Cristóbal Vila, Nature by Numbers (video).

Fibonači skaitļi citur:

• Rachel Hall, Math for Poets and Drummers (The Mathematics of Rhythm), February 1, 2005.
• Ron Knott, Fibonacci Numbers and The Golden Section in Art, Architecture and Music, March 7, 2009.
• Knott R., Quinney D.A., PASS Maths, The life and numbers of Fibonacci, plus.maths.org.