Numeri et eorum quadrati Numerus quadratus in mathematica , etiam quadratus perfectus appellatus, est integer qui est quadratus integri, et ergo cuius radix est integer. Exempli gratia, 9 est numerus quadratus, quia ut 3 × 3 scribi potest.. Integer positiva cui non sunt divisores quadrati perfect praeter 1 sine quadrato appellatur.
Proprietates
De visu
Numerus n est quadratus solum si n puncta in quadro ordinentur:
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
Formula pro n numero quadrato est n 2 . Etiam haec aequat summam primorum n numerorum imparum (
n
2
=
∑ ∑ -->
k
=
1
n
(
2
k
− − -->
1
)
{\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)}
+ ).
E.g., 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
n quadratus ex duobus prioribus calculetur addendo (n − 1)um quadratum sibi, subtrahendo (n − 2)um quadratum, et addendo 2.
n
2
=
2
(
n
− − -->
1
)
2
− − -->
(
n
− − -->
2
)
2
+
2
{\displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2}
2 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62 .
Utile est observatu modum quo quadratus exprimitur a summa 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n , ut monstratur super in picturis.2 aequat 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.2 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.
Summa duorum numerorum triangulum consequentum, ita 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6+10=16.
Summa duorum numerorum quadratorum consequentium est numerus quadratus centropositus ; exempli gratia, 5 = 1 + 4, et quincunx formam habet quadrati centropositi. Omnis impar numerus quadratus est numerus octagonalis centropositus .
Summa omnium numerorum quadratorum usque ad limem quendam est numerus pyramidalis , ut 1 + 4 + 9 = 13.
De notis ultimis
Ultimae notae quadrati soli sit 00, 1, 4, 6, 9, vel 25—in 10—ut subter explicatur:
Si numeri ultimus est 0, ultimi eius quadrati sint 00 et priores sint quadrati.
Si numeri ultimus est 1 vel 9, ultimus eius quadrati sit 1 et priores sint divisibiles a 4.
Si numeri ultimus est 2 vel 8, ultimus eius quadrati sit 4 et prior sit par.
Si numeri ultimus est 3 vel 7, ultimus eius quadrati sit 9 et priores sint divisibiles a 4.
Si numeri ultimus est 4 vel 6, ultimus eius quadrati sit 6 et prior sit impar.
Si numeri ultimus est 5, ultimi eius quadrati sint 25 et priores sint 0, 2, 06, vel 56. numerus perfectus .
Pares quadrati et impares
Quadrati numerorum parum sunt pares, nam (2n )2 = 4n 2 .
Quadrati numerorum imparum sunt impares, nam (2n + 1)2 = 4(n 2 + n ) + 1.
Ita radices parum quadratorum pares, imparum impares.
Brevis index
Primi 51 quadrati sunt: 02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
Nexus interni
Bibliographia
Nexus externi
