힐 사면체

기하학에서 힐 사면체(영어: Hill tetrahedra)는 공간 채우기 사면체족이다. 1896년에 유니버시티 칼리지 런던의 수학 교수 M. J. M. Hill이 발견했으며, 힐 사면체가 정육면체와 가위 합동이라는 것을 밝혔다.

구성

모든 ${\displaystyle \alpha \in (0,2\pi /3)}$에 대해서 ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}\in \mathbb {R} ^{3}}$을 그 사잇각이 ${\displaystyle \alpha }$인 세 단위벡터로 정의하자. 힐 사면체 ${\displaystyle Q(\alpha )}$는 다음과 같이 정의한다:

${\displaystyle Q(\alpha )\,=\,\{c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\mid 0\leq c_{1}\leq c_{2}\leq c_{3}\leq 1\}.}$

${\displaystyle Q(\pi /2)}$인 특별한 경우는 일반적으로 ${\displaystyle Q}$라고 부르며 사면체의 모든 면이 직각삼각형으로, 두 면은 ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$이고 다른 두 면은 ${\displaystyle (1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$이다. 루트비히 슐레플리(Ludwig Schläfli)는 ${\displaystyle Q}$를 orthoscheme의 특별한 경우로 연구하였고, 콕서터는 ${\displaystyle Q}$를 정육면체 공간채우기의 특성 사면체라고 불렀다.

특성

• 정육면체는 6개의 ${\displaystyle Q}$로 채울 수 있다.
• 모든 ${\displaystyle Q(\alpha )}$는 세 다포체로 분할해서 각기둥으로 바꿀 수 있다.

일반화

1951년에 후고 하트비거(Hugo Hadwiger)는 힐 사면체를 다음과 같이 n차원으로 일반화하였다.

${\displaystyle Q(w)\,=\,\{c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}\mid 0\leq c_{1}\leq \cdots \leq c_{n}\leq 1\},}$

이 때 벡터 ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$는 모든 ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$에 대해서 ${\displaystyle (v_{i},v_{j})=w}$를 만족하고 ${\displaystyle -1/(n-1)<w<1}$이다. 하트비거는 이와 같은 모든 단체는 초입방체와 가위 합동이라는 것을 증명하였다.

같이 보기

• Schläfli orthoscheme

참고 문헌

• M. J. M. Hill, Determination of the volumes of certain species of tetrahedra without employment of the method of limits, Proc. London Math. Soc., 27 (1895–1896), 39–53.
• H. Hadwiger, Hillsche Hypertetraeder, Gazeta Matemática (Lisboa), 12 (No. 50, 1951), 47–48.
• H.S.M. Coxeter, Frieze patterns, Acta Arithmetica 18 (1971), 297–310.
• E. Hertel, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, J. Geom. 71 (2001), no. 1–2, 68–77.
• Greg N. Frederickson, Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 2003.
• N.J.A. Sloane, V.A. Vaishampayan, Generalizations of Schobi’s Tetrahedral Dissection, arXiv:0710.3857.

외부 링크

• Three piece dissection of a Hill tetrahedron into a triangular prism