화살집 표현

화살집 표현(-表現, 영어: quiver representation)은 환론에서 화살집의 각 꼭짓점에 가군을 대응시키며 각 변에 가군 준동형을 대응시키는 수학 구조이다.^[1]

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• 화살집 ${\displaystyle Q}$

추상적 정의

${\displaystyle Q}$의 ${\displaystyle K}$ 계수 화살집 표현 ${\displaystyle R}$는 다음과 같은 함자이다.

${\displaystyle R\colon \operatorname {Free} (Q)\to \operatorname {Mod} _{K}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Free} (Q)}$는 ${\displaystyle Q}$로 생성되는 자유 범주이며, ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}$는 ${\displaystyle K}$-가군의 범주이다.

두 화살집 표현 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ 사이의 사상 ${\displaystyle \phi \colon R\to S}$은 함자 사이의 자연 변환이다.

구체적 정의

${\displaystyle Q}$의 ${\displaystyle K}$ 계수 화살집 표현 ${\displaystyle R}$은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 꼭짓점 ${\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)}$에 대하여, ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle R_{v}}$
• 각 변 ${\displaystyle e\colon u\to v}$에 대하여, ${\displaystyle K}$-가군 준동형 ${\displaystyle R_{e}\colon R_{u}\to R_{v}}$

두 화살집 표현 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ 사이의 사상 ${\displaystyle \phi \colon R\to S}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 꼭짓점 ${\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)}$에 대하여, ${\displaystyle K}$-가군 준동형 ${\displaystyle \phi _{v}\colon R_{v}\to S_{v}}$

이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변 ${\displaystyle e\colon u\to v}$에 대하여,

${\displaystyle {\begin{matrix}R_{u}&{\overset {\phi _{u}}{\to }}&S_{u}\\{\scriptstyle R_{e}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle R_{e}}&&{\color {White}\scriptstyle S_{e}}\downarrow \scriptstyle S_{e}\\R_{v}&{\underset {\phi _{v}}{\to }}&S_{v}\end{matrix}}}$

환론적 정의

화살집 ${\displaystyle Q}$ 속의, 길이 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$의 보행(영어: walk, path)은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 열

${\displaystyle v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{1},v_{1},e_{0},v_{0}}$

이다.

${\displaystyle s(e_{i})=v_{i}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}}$

${\displaystyle t(e_{i})=v_{i+1}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}}$

(보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 일대일 대응한다.)

${\displaystyle Q}$의 보행들을 기저로 갖는 ${\displaystyle K}$-자유 가군 위에 다음과 같은 곱을 정의하자.

• 임의의 두 보행 ${\displaystyle \alpha =(v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{0},v_{0})}$, ${\displaystyle \beta =(v'_{n'},e'_{n'-1},\dotsc ,e'_{0},v'_{0})}$에 대하여,
  • 만약 ${\displaystyle v_{0}=v'_{n'}}$이라면, ${\displaystyle \alpha \beta =(v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{0},v_{0},e'_{n'-1},\dotsc ,v'_{0})}$
  • 만약 ${\displaystyle v_{0}\neq v'_{n'}}$이라면, ${\displaystyle \alpha \beta =0}$

이는 유사환을 이루며, 만약 ${\displaystyle Q}$가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원

${\displaystyle 1=\sum _{v\in \operatorname {V} (Q)}(v)}$

을 가져 환을 이룬다. 이를 ${\displaystyle Q}$ 위의 보행 대수(영어: walk algebra, path algebra) ${\displaystyle K[Q]}$라고 한다.

이제, 만약 ${\displaystyle Q}$의 꼭짓점 집합이 유한 집합일 경우, ${\displaystyle Q}$의 ${\displaystyle K}$-표현은 보행 대수 ${\displaystyle K[Q]}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle R}$이다.

이 정의들은 다음과 같이 대응한다.

범주론적 정의	구체적 정의	환론적 정의
꼭짓점 ${\displaystyle v}$에 대응하는 대상의 상 ${\displaystyle R(v)}$	꼭짓점 ${\displaystyle v}$에 대응되는 가군 ${\displaystyle R_{v}}$	${\displaystyle (v)R}$ (${\displaystyle (v)}$는 길이 0의 보행)
변 ${\displaystyle e}$에 대응하는 사상의 상 ${\displaystyle R(e)}$	변 ${\displaystyle e\colon u\to v}$에 대응하는 가군 준동형 ${\displaystyle R_{e}\colon R_{u}\to R_{v}}$	길이 1의 보행 ${\displaystyle (u,e,v)}$의 작용 ${\displaystyle (u,e,v)\colon (v)R\to (u)R}$
보행 ${\displaystyle (v_{n},\dotsc ,e_{0},v_{0})}$에 대응하는 사상의 상 ${\displaystyle R(e_{n-1})\circ \dotsb \circ R(e_{0})}$	보행의 변들에 대응하는 가군 준동형들의 합성 ${\displaystyle R_{e_{n-1}}\circ \dotsb \circ R_{e_{0}}\colon R_{v_{0}}\to R_{v_{n}}}$	보행의 작용

연산

분리합

화살집들의 집합 ${\displaystyle (Q_{i})_{i\in I}}$ 및 각 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여 ${\displaystyle Q_{i}}$의 표현 ${\displaystyle R^{(i)}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 ${\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}Q_{i}}$의 ${\displaystyle K}$-표현 ${\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}R^{(i)}}$이 자연스럽게 존재한다.

반대로, ${\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}Q_{i}}$의 모든 ${\displaystyle K}$-표현은 ${\displaystyle Q_{i}}$들의 표현들의 족 ${\displaystyle (R^{(i)})_{i\in I}}$의 분리합으로 유일하게 나타내어진다.

(이는 화살집의 분리합집합이 대응되는 범주의 쌍대곱에 대응하기 때문이다.)

직합

화살집 ${\displaystyle Q}$의 ${\displaystyle K}$-표현들의 집합 ${\displaystyle (R^{(i)})_{i\in I}}$의 직합은 다음과 같은 화살집 표현이다.

${\displaystyle R_{v}=\bigoplus _{i\in i}R_{v}^{(i)}\qquad (v\in \operatorname {V} (Q))}$

${\displaystyle R_{e}=\bigoplus _{i\in i}R_{e}^{(i)}\qquad (e\in \operatorname {E} (Q))}$

직합의 항등원은 모든 성분이 영가군인 영 표현(零表現, 영어: zero representation)이다. 하나 이상의 영 표현이 아닌 화살집 표현들의 직합으로 표현될 수 없는 화살집 표현을 분해 불가능 표현(分解不可能表現, 영어: indecomposable representation)이라고 한다.

성질

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$ 및 화살집 ${\displaystyle Q}$에 대하여, ${\displaystyle Q}$의 ${\displaystyle K}$-표현들의 범주는 (작은 범주에서 아벨 범주로 가는 함자 범주이므로) 아벨 범주이다.

가브리엘 정리

${\displaystyle {\mathsf {A}}_{n}}$ · ${\displaystyle {\mathsf {D}}_{n}}$ · ${\displaystyle {\mathsf {E}}_{n}}$ 꼴의 근계의 딘킨 도표

가브리엘 정리(Gabriel定理, 영어: Gabriel’s theorem)에 따르면, 화살집 ${\displaystyle Q}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 분해 불가능 복소수 표현의 동형류의 수가 유한하다.
• 유한 개의 연결 성분을 가지며, 각 연결 성분은 (변의 방향을 망각하면) ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{n}}$ · ${\displaystyle {\mathsf {D}}_{n}}$ · ${\displaystyle {\mathsf {E}}_{6}}$ · ${\displaystyle {\mathsf {E}}_{7}}$ · ${\displaystyle {\mathsf {E}}_{8}}$ 꼴의 딘킨 도표를 이룬다. (특히, 다중 그래프일 수 없다.)

또한, 위와 같은 꼴의 연결 화살집의 분해 불가능 ${\displaystyle K}$-표현의 동형류는 이에 대응되는 (A/D/E 꼴의) 근계의 양근과 일대일 대응한다.

예

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자.

공집합(즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 화살집)은 유일한 (자명한) ${\displaystyle K}$-표현을 갖는다.

A₁

하나의 꼭짓점을 갖는 화살집 ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}}$의 표현들은 ${\displaystyle K}$-가군이다. 특히, 만약 ${\displaystyle K}$가 체일 때, ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}}$의 분해 불가능 ${\displaystyle K}$-표현은 1차원 표현 ${\displaystyle K}$ 밖에 없다. (이는 ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}}$ 근계의 유일한 양근에 대응한다.)

A₂

${\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}}$ 근계는 세 개의 양근 ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha +\beta }$를 갖는다.

두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집 ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}}$의 표현들은 두 ${\displaystyle K}$-가군 사이의 가군 준동형이다. 특히, 만약 ${\displaystyle K}$가 체일 때,

${\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}={\underset {u}{\bullet }}{\overset {e}{-}}{\underset {v}{\bullet }}}$

의 분해 불가능 ${\displaystyle K}$-표현은 다음 세 개이다. (이는 ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}}$ 근계의 세 양근에 대응한다.)

• ${\displaystyle R_{u}=K}$, ${\displaystyle R_{v}=0}$, ${\displaystyle R_{e}}$는 값이 0인 상수 함수
• ${\displaystyle R_{u}=0}$, ${\displaystyle R_{v}=K}$, ${\displaystyle R_{e}}$는 값이 0인 상수 함수
• ${\displaystyle R_{u}=R_{v}=K}$, ${\displaystyle R_{e}}$는 항등 함수

역사

가브리엘 정리는 피에르 가브리엘(프랑스어: Pierre Gabriel, 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.^{[2]:73, §1.2, Satz}

각주

1. Derksen, Harm; Weyman, Jerzy (2005년 2월). “Quiver representations” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 52 (2): 200–206. ISSN 0002-9920. Zbl 1143.16300. 
2. Gabriel, Peter (1972). “Unzerlegbare Darstellungen Ⅰ”. 《Manuscripta Mathematica》 (독일어) 6: 71–103. doi:10.1007/BF01298413. ISSN 0025-2611. 

외부 링크

• “Quiver”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Gabriel's theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Why are (representations of) quivers such a big deal?”. 《Stack Exchange》 (영어).