호프 불변량

호모토피 이론에서 호프 불변량(Hopf不變量, 영어: Hopf invariant)은 특정한 차원의 두 초구 사이의 연속 함수를 분류하는 정수이다.

정의

연속 함수

${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2n-1}\to \mathbb {S} ^{n}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}=\partial \mathbb {D} ^{2n}}$이므로 이를 사용하여 CW 복합체

${\displaystyle \mathbb {D} ^{2n}\cup _{f}\mathbb {S} ^{n}}$

를 정의할 수 있다. 이는 1개의 0차원 세포 · 1개의 ${\displaystyle n}$차원 세포 · 1개의 ${\displaystyle 2n}$차원 세포를 갖는다.

${\displaystyle n=1}$일 경우, 이러한 함수는 브라우어르 차수에 의하여 완전히 분류된다. 만약 ${\displaystyle n\geq 2}$라면, 세포 코호몰로지를 사용하여 CW 복합체의 코호몰로지를 바로 계산할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(\mathbb {D} ^{2n}\cup _{f}\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} =\langle 1\rangle &k=0\\\mathbb {Z} =\langle \alpha \rangle &k=n\\\mathbb {Z} =\langle \beta \rangle &k=2n\\0&n\neq 0,n,2n\end{cases}}}$

코호몰로지는 등급환을 이룬다. 이 경우, 코호몰로지류의 합곱은 등급 때문에 다음과 같은 꼴이어야 한다.

${\displaystyle \alpha \smile \beta =\beta \smile \beta =0}$

${\displaystyle \alpha \smile \alpha =h_{f}\beta \qquad (h_{f}\in \mathbb {Z} )}$

이 정수 ${\displaystyle h_{f}\in \mathbb {Z} }$를 ${\displaystyle f}$의 호프 불변량이라고 한다.

이는 초구의 호모토피 군으로부터 무한 순환군으로 가는 군 준동형을 이룬다.

${\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(\mathbb {S} ^{n})\to \mathbb {Z} }$

성질

상수 함수의 호프 불변량은 0이다.

유리수 호모토피 이론 등에 의하여, 호모토피 군 ${\displaystyle \pi _{2n-1}(\mathbb {S} ^{n})}$은 유한한 아벨 꼬임 부분군과 무한 순환군의 직합이다. 꼬임 부분군은 물론 호프 불변량 준동형 아래 0으로 대응된다.

호프 불변량 준동형의 치역은 다음과 같다.

${\displaystyle h(\pi _{2n-1}(\mathbb {S} ^{n}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=2,4,8\\2\mathbb {Z} &n\geq 2,n\neq 2,4,8\end{cases}}}$

즉, ${\displaystyle n=2,4,8}$ (실수체 위의 노름 나눗셈 대수들의 차원)인 경우, 호프 올뭉치가 존재하여 ${\displaystyle h=1}$이 가능하며, 그렇지 않은 경우 호프 불변량은 항상 짝수이다.

호프 함수

호프 불변량이 1인 함수를 호프 함수(영어: Hopf map)라고 한다. 이들은 구체적으로 다음과 같다. 우선 ${\displaystyle K\in \{\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \}}$가 실수체 위의 노름 나눗셈 대수 (복소수체, 사원수 대수, 팔원수 대수 가운데 하나)라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle K}$ 위의 사영 직선

${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}={\frac {K^{2}}{(a,b)\sim (ca,cb)}}=K\sqcup \{{\widehat {\infty }}\}\cong \mathbb {S} ^{\dim _{\mathbb {R} }K}}$

및 ${\displaystyle K^{2}}$ 속의 단위 노름 초구

${\displaystyle \mathbb {S} (K^{2})=\{(a,b)\in K^{2}\colon |a|^{2}+|b|^{2}=1\}\cong \mathbb {S} ^{2\dim _{\mathbb {R} }K-1}}$

를 정의할 수 있다. 그렇다면,

${\displaystyle \mathbb {S} (K^{2})\to \mathbb {P} _{K}^{1}}$

${\displaystyle (a,b)\mapsto [a:b]\in \mathbb {P} _{K}^{1}}$

는 호프 함수를 이룬다.

역사

호프 불변량의 개념은 하인츠 호프가 호프 올뭉치를 연구하는 과정에 1935년에 발견하였다.^[1]

1960년에 존 프랭크 애덤스는 호프 불변량이 1인 경우는 2, 4, 8차원 호프 올뭉치 밖에 없다는 것을 보였다.^[2][3] 이후 1966년에 애덤스와 마이클 아티야는 이를 위상 K이론을 사용하여 재증명하였다.^[4]

각주

1. Hopf, Heinz (1935). “Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 25: 427–440. Zbl 0012.31902. 
2. Adams, J. F. (1958). “On the nonexistence of elements of Hopf invariant one”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 64: 279-282. doi:10.1090/S0002-9904-1958-10225-6. ISSN 0273-0979. MR 0097059. 
3. Adams, J. F. (1960년 7월). “On the non-existence of elements of Hopf invariant one” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (영어) 72 (1): 20–104. doi:10.2307/1970147. JSTOR 1970147. MR 0141119. 2016년 1월 25일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 1월 12일에 확인함. 
4. Adams, J. F.; Atiyah, M. F. (1966). “K-theory and the Hopf invariant”. 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 17 (1): 31–38. doi:10.1093/qmath/17.1.31. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hopf invariant one theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hopf invariant”. 《nLab》 (영어). 
• “Hopf invariant one”. 《nLab》 (영어). 
• “Hopf construction”. 《nLab》 (영어). 
• “Hopf invariant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 호프 올뭉치