호지 구조

대수기하학에서 호지 구조(Hodge構造, 영어: Hodge structure)는 켈러 다양체 위에 호지 이론으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다.

정의

순수 호지 구조

무게가 ${\displaystyle n}$인 순수 호지 구조(純粹Hodge構造, 영어: pure Hodge structure) ${\displaystyle (H,F^{\bullet })}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[1]:Definition 1}

• 자유 아벨 군 ${\displaystyle H}$
• 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과 ${\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{n}}$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle p+q=n+1}$이라면, ${\displaystyle F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}=\{0\}}$, ${\displaystyle F^{p}\oplus {\bar {F}}^{q}=H\otimes \mathbb {C} }$

순수 호지 구조 ${\displaystyle (H,F^{\bullet })}$에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}}$

그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle H\otimes \mathbb {C} =H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus \cdots \oplus H^{n,0}}$

${\displaystyle {\bar {H}}^{p,q}\cong H^{q,p}}$

무게 ${\displaystyle n}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle (H,F^{\bullet })}$의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number) ${\displaystyle h^{\bullet ,n-\bullet }}$는 다음과 같다.

${\displaystyle h^{p,n-p}=\dim _{\mathbb {C} }H^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )}$

순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간 ${\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$ 위의, 복소수 곱셈군 ${\displaystyle \mathbb {S} (\mathbb {R} )=\mathbb {C} ^{\times }}$의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle H^{p,q}}$는 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$의 작용이 ${\displaystyle z\colon v\mapsto z^{p}{\bar {z}}^{q}v}$의 꼴인 성분이다.

같은 무게의 두 순수 호지 구조 사이의 사상(寫像, 영어: morphism) ${\displaystyle f\colon H\to H'}$은 다음과 같은 성질을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

• ${\displaystyle f(H^{p,q})\subset \bigoplus _{i\geq 0}H'^{p+i,q-i}}$

무게 ${\displaystyle k}$의 두 개의 순수 호지 구조 ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle H'}$이 주어졌을 때, 직합 ${\displaystyle H\oplus H'}$ 역시 무게 ${\displaystyle k}$의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 ${\displaystyle k}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle H}$와 무게 ${\displaystyle k'}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle H'}$이 주어졌을 때, 텐서곱 ${\displaystyle H\otimes H'}$은 무게 ${\displaystyle kk'}$의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 ${\displaystyle k}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle H}$ 위의 극성화(極性化, 영어: polarization) ${\displaystyle Q}$는 다음 조건들을 만족시키는, ${\displaystyle H}$ 위의 정수 이차 형식이다.

• ${\displaystyle Q^{\mathbb {C} }(a,b)=(-1)^{k}\mathbb {Q} ^{\mathbb {C} }(b,a)\qquad \forall a,b\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$
• ${\displaystyle Q^{\mathbb {C} }(a,b)=0\forall a\in H^{p,q},\;b\in H^{p',q'},\;(p,q)\neq (q',p')}$
• ${\displaystyle i^{p-q}Q(a,{\bar {a}})\in \mathbb {R} ^{+}\forall a\in H^{p,q}\setminus \{0\}}$

혼합 호지 구조

혼합 호지 구조(混合Hodge構造, 영어: mixed Hodge structure) ${\displaystyle (H,F^{\bullet },W_{\bullet })}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[1]:Definition 10(1)}

• 아벨 군 ${\displaystyle H}$
• ${\displaystyle H\otimes \mathbb {C} }$ 위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 여과 ${\displaystyle H\otimes \mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{k}}$. 이를 호지 여과(Hodge濾過, 영어: Hodge filtration)라고 한다.
• ${\displaystyle H\otimes \mathbb {Q} }$ 위의, 유리수 벡터 공간들의 유한 증가 여과 ${\displaystyle W_{0}\subseteq W_{1}\subseteq \cdots \subseteq W_{m}=H\otimes \mathbb {Q} }$. 이를 무게 여과(-濾過, 영어: weight filtration)라고 한다.

이는 다음을 만족시켜야 한다.

• 모든 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=(W_{n}/W_{n-1})\otimes \mathbb {C} }$ 위의 감소 여과 ${\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )/(W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )}$는 무게 ${\displaystyle n}$의 순수 호지 구조를 이룬다.

혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다.

혼합 호지 구조 ${\displaystyle (H,F^{\bullet },W_{\bullet })}$의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number) ${\displaystyle h^{\bullet ,\bullet }}$는 다음과 같다.^{[1]:Definition 10(3)}

${\displaystyle h^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}\operatorname {gr} _{p+q}^{W}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )}$

두 혼합 호지 구조 ${\displaystyle (H,F,W)}$, ${\displaystyle (H',F',W')}$ 사이의 사상(寫像, 영어: morphism) ${\displaystyle f\colon H\to H'}$은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의 준동형이다.

• ${\displaystyle f(F^{p})\subseteq F'^{p}}$
• ${\displaystyle f(W_{k}H)\subseteq W'_{k}}$

혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주(영어: Tannakian category)를 이룬다.

다양체의 호지 구조

켈러 다양체

콤팩트 켈러 다양체 (또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체) ${\displaystyle X}$의 복소수 계수 특이 코호몰로지 ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {C} )=H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C} }$는 호지 이론에 의하여 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X)\qquad \forall k=0,1,\dots ,n}$

이는 무게 ${\displaystyle n}$의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합

${\displaystyle H(X;\mathbb {Z} )=\bigoplus _{n}H^{n}(X;\mathbb {Z} )}$

은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는

${\displaystyle W_{k}=\bigoplus _{i\leq k}H^{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }$

이며, 호지 여과는

${\displaystyle F^{p}=\bigoplus _{i\geq p}H^{i,n-i}}$

이다.

두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상 ${\displaystyle f\colon M\to M'}$은 순수 호지 구조의 사상

${\displaystyle f^{*}\colon H^{n}(M')\to H^{n}(M)}$

을 유도한다.^{[1]:Example 7}

비완비 비특이 대수다양체

(완비 대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle k}$차 특이 코호몰로지 ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )}$ 위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라 ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )}$ 위에 존재하는 무게는 ${\displaystyle k,k+1,\dots ,\min\{2\dim _{\mathbb {C} }X,2k)}$이다.^{[1]:Theorem 8[2][3]}

${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H^{k}(X;\mathbb {Q} )\neq 0\implies k\leq n\leq \min\{2\dim _{\mathbb {C} }U,2k\}}$

또한, 이는 함자적이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 반대 범주에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다.

비특이 사영 대수다양체 ${\displaystyle X}$의 닫힌 비특이 부분다양체 ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$가 주어진다면, 대수적 위상수학에 따라서 다음과 같은 (상대) 특이 코호몰로지의 (아벨 군으로서의) 긴 완전열이 존재한다.

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$

혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다.^[1] 이 경우 ${\displaystyle H^{\bullet }(X)}$는 순수 호지 구조이지만, ${\displaystyle H^{\bullet }(X,Y)}$ 및 ${\displaystyle H^{\bullet }(Y)}$는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.

특이 대수다양체

보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다.^[4] 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다.^[5]

관련 개념

호지 구조의 변동(Hodge構造의變動, 영어: variation of Hodge structure)은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다.^[6][7][8]

호지 가군(Hodge加群, 영어: Hodge module)은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코(일본어: 斎藤 盛彦)가 도입하였다.^[9]

예

무게 0 또는 1의 호지 구조

임의의 아벨 군 ${\displaystyle H}$에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.

${\displaystyle H^{0,0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$

${\displaystyle F^{0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$

만약 호지 구조의 차수 ${\displaystyle (p,q)}$가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다.

아벨 군 ${\displaystyle H}$ 위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수 ${\displaystyle (p,q)}$가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간${\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ 위의 복소구조

${\displaystyle J\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$

${\displaystyle J^{2}=-1}$

와 같다. 이 경우,

${\displaystyle H^{1,0}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=iv\}}$

${\displaystyle H^{0,1}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=-iv\}}$

이다. 여기서

${\displaystyle J^{\mathbb {C} }\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$

${\displaystyle (J^{\mathbb {C} })^{2}=-1}$

는 ${\displaystyle J}$의 복소수체로의 선형 확대이다.

보다 일반적으로, 임의의 아벨 군 ${\displaystyle H}$ 위에, 짝수 무게 ${\displaystyle 2n}$의 자명한 순수 호지 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.^{[1]:Example 1}

${\displaystyle H^{p,q}={\begin{cases}H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} &(p,q)=(n,n)\\\{0\}&(p,q)\neq (n,n)\end{cases}}}$

테이트 호지 구조(영어: Tate Hodge structure) ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$는 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위에 정의되는, 무게 ${\displaystyle -2}$의 순수 호지 구조이다.^{[1]:Example 2} 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게 ${\displaystyle -2n}$의 호지 구조는 ${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$으로 쓴다.

테이트 뒤틂

무게 ${\displaystyle k}$의 순수 호지 구조 ${\displaystyle (H,F^{\bullet })}$ 및 정수 ${\displaystyle r}$가 주어졌을 때, 테이트 뒤틂(영어: Tate twist) ${\displaystyle H(r)}$는 다음과 같은, 무게 ${\displaystyle k+2r}$의 순수 호지 구조이다.^{[1]:Example 3}

• 아벨 군으로서, ${\displaystyle H(r)=H}$
• ${\displaystyle H(r)^{p,q}=H^{p-r,q-r}}$

구멍을 뚫은 타원 곡선

복소수 타원 곡선 ${\displaystyle E}$에 서로 다른 닫힌 점 ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{k}\in E}$가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다.^{[1]:Example 18} 우선, 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0}$

${\displaystyle H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k+1}\qquad (k>1)}$

${\displaystyle H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\qquad (k>0)}$

상대 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 다음과 같다.

${\displaystyle 0\to H^{0}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{1}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0}$

즉, 이는 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle 0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to 0}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to 0}$

긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다.

${\displaystyle 0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{2}\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0}$

${\displaystyle 0\to \operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k}\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} \to 0}$

즉,

${\displaystyle \operatorname {gr} _{0}^{W}H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=2}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )}$

이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다.

횡단 교차

대수다양체 ${\displaystyle X}$가 두 개의 비특이 사영 대수다양체 ${\displaystyle X_{1}}$과 ${\displaystyle X_{2}}$의 합집합이며, ${\displaystyle X_{1}}$과 ${\displaystyle X_{2}}$는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다.^[10]:§4 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재한다.

${\displaystyle \cdots \to H^{i-1}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i-1}}}H^{i}(X)\to H^{i}(X_{1})\oplus H^{i}(X_{2})\to H^{i}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i}}}H^{i+1}(X)\to \cdots }$

이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서 ${\displaystyle H^{i}(X_{1}\cap X_{2})}$와 ${\displaystyle H^{i}(X_{1})\oplus H^{i}(X_{2})}$는 무게 ${\displaystyle i}$의 순수 호지 구조를 가지지만, ${\displaystyle H^{i}(X)}$는 일반적으로 무게 ${\displaystyle i}$ 및 ${\displaystyle i-1}$을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle W_{j}(H^{i}(X))={\begin{cases}H^{i}(X)&j\geq i\\\operatorname {im} \delta _{i-1}&j=i-1\\0&j<i-1\end{cases}}}$

각주

1. Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan. 〈An introduction to Hodge structures〉. 《Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics》. Fields Institute Communications (영어). Springer. arXiv:1412.8499. ISSN 1069-5265. 
2. Deligne, Pierre (1971). 〈Théorie de Hodge I〉 (PDF). 《Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970)》 (프랑스어) 1. Gauthier-Villars. 425–430쪽. MR 0441965. 2015년 4월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 3월 8일에 확인함. 
3. Deligne, Pierre (1971). “Théorie de Hodge II”. 《Publications mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (프랑스어) 40: 5–57. doi:10.1007/BF02684692. ISSN 0073-8301. MR 0498551. Zbl 0219.14007. 
4. Deligne, Pierre (1974). “Théorie de Hodge III”. 《Publications mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (프랑스어) 44: 5–77. doi:10.1007/BF02685881. ISSN 0073-8301. MR 0498552. Zbl 0237.14003. 
5. Варченко, Александр Николаевич (1980). “Асимптотики голоморфных форм определяют смешанную структуру Ходжа”. 《Доклады Академии Наук СССР》 (러시아어) 255: 1035–1038. Zbl 0516.14007. 
6. Griffiths, P. (1968). “Periods of integrals on algebraic manifolds I (construction and properties of the modular varieties)”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 90: 568–626. doi:10.2307/2373545. JSTOR 2373545. 
7. Griffiths, P. (1968). “Periods of integrals on algebraic manifolds II (local study of the period mapping)” (영어) 90. American Journal of Mathematics: 808–865. doi:10.2307/2373485. JSTOR 2373485. 
8. Griffiths, P. (1970). “Periods of integrals on algebraic manifolds III (some global differential-geometric properties of the period mapping)”. 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (영어) 38 (1): 125–180. doi:10.1007/BF02684654. ISSN 0073-8301. MR 282990. Zbl 0212.53503. 
9. Saito, Morihiko (1989). 〈Introduction to mixed Hodge modules〉. 《Actes du Colloque de Théorie de Hodge (Luminy, 1987)》. Astérisque (영어). 179–180. 145–162쪽. MR 1042805. 
10. Durfee, Alan H. (1981년 2월). 〈A naive guide to mixed Hodge theory〉. 《特異点の複素解析》. 数理解析研究所講究録 (영어) 415. 京都大学数理解析研究所. 

• Peters, Christiaan; Steenbrink, Joseph H. M. (2008). 《Mixed Hodge structures》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-3-540-77017-6. ISBN 978-3-540-77015-2. 2015년 3월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 26일에 확인함. 
• Eduardo Cattani, Fouad El Zein, Phillip A. Griffiths, Lê Dũng Tráng, 편집. (2014). 《Hodge theory》. Mathematical Notes (영어) 49. Princeton University Press. ISBN 9780691161341.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)

외부 링크

• “Hodge structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Variation of Hodge structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hodge structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Examples of mixed Hodge structures” (영어). Math Overflow. 
• Sabbah, Claude. “Théorie de Hodge et théorème de Lefschetz «difficile». Notes de cours (Strasbourg 2000, Bordeaux 2001)” (PDF) (프랑스어). ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

같이 보기

• 호지 이론
• 호지 추측
• 모티브 (수학)