항등 함수

실수 항등 함수의 그래프

수학에서 항등 함수(恒等函數, 영어: identity function) 또는 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity map), 항등 변환(恒等變換, 영어: identity transformation)은 정의역과 공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이다.

정의

집합 ${\displaystyle X}$의 항등 함수 ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$는 다음과 같은 함수이다.

• ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X}$
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}(x)=x}$

성질

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f}$

즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히, ${\displaystyle X}$의 자기 함수의 집합 ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$는 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다.

증명:

임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여,

${\displaystyle (f\circ \operatorname {id} _{X})(x)=f(\operatorname {id} _{X}(x))=f(x)}$

이므로,

${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=f}$

이다. 마찬가지로 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여,

${\displaystyle (\operatorname {id} _{Y}\circ f)(y)=\operatorname {id} _{Y}(f(y))=f(y)}$

이므로,

${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f}$

이다.

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 전단사 함수이다.
• 다음을 만족시키는 함수 ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$가 존재한다. (이를 ${\displaystyle f}$의 역함수라고 한다.)
  • ${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$
  • ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}}$

즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히, ${\displaystyle X}$의 자기 전단사 함수의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 ${\displaystyle X}$의 대칭군이라고 한다.

예

양의 정수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.

실수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.

관련 개념

(범주 속의) 항등 사상

범주의 각 대상의 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity morphism)은 항등 함수의 개념의 일반화이다. 이는 일종의 무정의 용어이다.

항등 함자

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 항등 함자(恒等函子, 영어: identity functor) ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}}$는 다음과 같은 함자이다.

• ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$
• 모든 대상 ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(X)=X}$
• 모든 대상 ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$ 및 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(f)=f}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 작은 범주일 경우, 항등 함자 ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}}$는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 (${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}}$는 함자):

모든 대상 ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(X)}}$

이며, 모든 대상 ${\displaystyle X,Y,Z\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$ 및 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(g\circ f)=g\circ f=\operatorname {id} _{\mathcal {C}}(g)\circ \operatorname {id} _{\mathcal {C}}(f)}$

이므로, ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}}$는 (공변) 함자이다.

항등 자연 변환

함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$의 항등 자연 변환(恒等自然變換, 영어: natural transformation) ${\displaystyle \operatorname {id} _{F}}$는 다음과 같은 자연 변환이다.

• ${\displaystyle \operatorname {id} _{F}\colon F\Rightarrow F}$
• 모든 대상 ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, ${\displaystyle (\operatorname {id} _{F})_{X}=\operatorname {id} _{F(X)}}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환 ${\displaystyle \operatorname {id} _{F}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 (${\displaystyle \operatorname {id} _{F}}$는 자연 변환):

모든 대상 ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$ 및 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여,

${\displaystyle (\operatorname {id} _{F})_{Y}\circ F(f)=\operatorname {id} _{F(Y)}\circ F(f)=F(f)=F(f)\circ \operatorname {id} _{F(X)}=F(f)\circ (\operatorname {id} _{F})_{X}}$

이므로, ${\displaystyle \operatorname {id} _{F}}$는 자연 변환이다.

같이 보기

• 포함 함수

외부 링크

• “Identity map”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Identity map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Identity function”. 《nLab》 (영어). 
• “Identity morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Identity functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Identity natural transformation”. 《nLab》 (영어).