페리 수열

수론에서 페리 수열(영어: Farey sequence)은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 n 을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle F_{n}}$: ${\displaystyle 0\leq h\leq k\leq n}$이고 ${\displaystyle \gcd(h,k)=1}$을 만족하는 ${\displaystyle {\frac {h}{k}}}$를 오름차순으로 나열한 수열

한편, 페리 수열을 페리 급수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니기 때문에 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다.

성질

수열의 길이

n번째 페리 수열 ${\displaystyle F_{n}}$의 정의에 따라 ${\displaystyle F_{n}}$의 길이와 ${\displaystyle F_{n+1}}$ 의 길이의 차이는, n+1보다 작으면서 동시에 n+1과 서로소인 자연수의 개수와 같다. 따라서 페리 수열의 길이에 관한 점화식은 오일러 피 함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• ${\displaystyle |F_{n+1}|=|F_{n}|+\varphi (n+1)}$

즉, ${\displaystyle |F_{n}|}$은 계차가 ${\displaystyle \varphi (n)}$인 계차수열이고 ${\displaystyle |F_{1}|=2}$이기 때문에, 시그마 기호를 사용하여 ${\displaystyle |F_{n}|}$의 일반항을 나타내면

• ${\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)}$

이웃한 항

페리 수열 ${\displaystyle F_{n}}$의 연속된 두 항을 각각 순서대로 ${\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}}$ 라고 하면,

${\displaystyle k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1}$

따라서 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}-{\frac {h_{1}}{k_{1}}}={\frac {k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}}{k_{1}k_{2}}}={\frac {1}{k_{1}k_{2}}}}$

연속된 세 항을 차례대로 ${\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}}$ 라고 할 경우,

${\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}}$

이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다.

${\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}}$가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때 ${\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}}$와 ${\displaystyle h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}}$는 각각이 페리 수열의 연속하는 두 항이므로

${\displaystyle k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1}$ ... (1)

${\displaystyle k_{2}h_{3}-k_{3}h_{2}=1}$ ... (2)

(1)${\displaystyle \times h_{3}}$${\displaystyle +}$(2)${\displaystyle \times h_{1}}$와 (1)${\displaystyle \times k_{3}}$${\displaystyle +}$(2)${\displaystyle \times k_{1}}$를 각각 계산하여 정리하면

${\displaystyle h_{1}+h_{3}=h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}$

${\displaystyle k_{1}+k_{3}=k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}$

따라서,

${\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}={\frac {h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}{k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}}={\frac {h_{2}}{k_{2}}}}$

물론, 후자의 성질에서 전자의 성질을 유도하는 것 역시 가능하다.^[1]

한편, 페리 수열의 인접한 두 항 ${\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}}$의 중앙값

${\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{2}}{k_{1}+k_{2}}}}$

의 분모 ${\displaystyle k_{1}+k_{2}}$는 항상 ${\displaystyle n}$보다 크다.

${\displaystyle k_{1}+k_{2}>n}$

또한 인접한 두 항의 중앙값은 ${\displaystyle k_{1}+k_{2}}$번 째 페리 수열 ${\displaystyle F_{k_{1}+k_{2}}}$에 처음 등장하며, 이 값은 항상 구간

${\displaystyle \left({\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}}\right)}$

사이에 존재하게 된다.

표

n=1…8까지의 페리 수열은 다음과 같다.

F₁ = {0/1, 1/1}

F₂ = {0/1, 1/2, 1/1}

F₃ = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}

F₄ = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}

F₅ = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}

F₆ = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1}

F₇ = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}

F₈ = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

역사

1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로(영어: Charles Haros)가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세(영어: John Farey, Sr.)가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

참고 문헌

1. Hardy, G. H.; E. M. Wright (2008). 《An Introduction to the Theory of Numbers》 6판. Oxford University Press. ISBN 0-19-853171-0.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

같이 보기

• 하디-리틀우드 원 방법