정육각형 테셀레이션

정육각형 타일링
종류	정다각형 타일링
꼭짓점 배치	6.6.6 (or 6^3)
면 배치	V3.3.3.3.3.3 (or V3^6)
슐레플리 기호	{6,3} t{3,6}
위토프 기호	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
콕서터 다이어그램
대칭	p6m, [6,3], (*632)
회전 대칭	p6, [6,3]^+, (632)
쌍대	정삼각형 타일링
특성	점추이, 변추이, 면추이

기하학에서 육각형 타일링(영어: hexagonal tiling) 또는 육각형 타일링은 유클리드 평면에서 세 정다각형 타일링 중 하나이다. 슐레플리 기호는 {6,3} 또는 t{3,6} (깎은 정삼각형 테셀레이션)이다.

콘웨이는 이것을 헥스타일(hextile)이라고 불렀다.

정육각형의 한 각은 120도이기 때문에 한 점에 정육각형 3개가 있어야 360도를 채울 수 있다. 이것은 평면에서 세 정다각형 테셀레이션 중 하나이다. 나머지 둘은 정삼각형 타일링과 정사각형 타일링이다.

적용

정육각형 타일링은 이차원에서 가장 가깝게 원을 모으는 방법이다. 벌집 추측에 따르면 정육각형 타일링이 한 표면을 넓이가 같게 나눠서 둘레의 길이 합이 가장 작게 하는 방법이다. 제1대 켈빈 남작 윌리엄 톰슨이 벌집(또는 비누 거품)을 만드는 3차원 입체 구조를 연구했는데, 켈빈 구조(또는 입방정계 격자)가 입체라고 생각했다. 하지만 웨이어-펠란 구조가 살짝 더 효율적이다.

이 구조는 흑연의 형태로 자연에서 존재하는데, 그래핀 한 장 한 장에서 탄소가 강한 공유결합을 해서 닭장 울타리처럼 보인다. 원통 형태의 그래핀인 탄소 나노튜브도 합성되었다. 장력 강도가 강하고 전기 전도성을 띠기 때문에 다양한 물체에 적용할 수 있다. 비슷한 예로 실리센이 있다.

• 
  정육각혀 타일링처럼 가장 빽빽한 원 채우기
• 
  닭장 울타리
• 
  그래핀
• 
  탄소 나노튜브는 원기둥 표면 위의 정육각형 타일링으로 생각할 수 있다.
• 
  1955년 경의 페르시아 육각형 타일

정육각형 타일링은 결정 구조에 많이 나타난다. 3차원에서 면십입방구조와 가까운 육각형 쌓기가 대표적인 결정 구조인데, 3차원에서 가장 밀집하게 구를 쌓을 수 있다. 정육각형 타일링을 그래핀의 구조와 비슷하게 평행한 층으로 쌓은 구조이다. 층들이 서로 엇갈려 있으며, 두 경우 중 면십입방구조가 더 규칙적이다. 여러 물질 중에서 순수한 구리가 체심입방구조 격자 모양이다.

균일 색칠

위토프 구성의 반사 대칭으로 만들어진 세 가지 균일 색칠이 있다. (h,k)는 한 가지 색칠된 타일의 주기적 반복을 나타내는데, 육각형 거리를 h를 처음, k를 두 번째로 센다. 골드버그 다면체에서도 쌍곡 테셀레이션에서 p > 6일 때 {p+,3}_h,k라는 표기법을 쓸 수 있다.

k-균일	1-균일			2-균일		3-균일
대칭	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
그림
색의 수	1	2	3	2	4	2	7
(h,k)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
슐레플리	{6,3}	t{3,6}	t{3^[3]}
위토프	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
콕서터
콘웨이	H	tΔ		cH=t6daH		wH=t6dsH

3색 테셀레이션은 다른 3차 순열다면체(permutohedron)으로 생성되는 테셀레이션이다.

모딴 육각형 타일링

모딴 육각형 타일링은 모서리를 다른 육각형으로 대체해서 다른 육각형 타일링을 만든 것이다. 극한으로 가면, 마름모 타일링이 된다.

모딴 육각형 타일링이 마름모 타일링으로 바뀌는 과정

육각형 (H)	모딴 육각형 (cH)			마름모 (daH)

관련된 테셀레이션

정육각형은 6개의 정삼각형으로 나눌 수 있다. 이때 2-균일 테셀레이션이나 정삼각형 테셀레이션이 된다.

정규 테셀레이션	나누기	2-균일 테셀레이션		정규 테셀레이션
원래		1/3 나누기	2/3 나누기	모두 나누기
정규 테셀레이션	깎기	2-균일 쌍대		Regular Tiling
원래		1/3 깎기	2/3 깎기	모두 깎기

육각형 타일링은 늘린 마름모 타일링이라고 할 수도 있는데, 마름모 타일링의 각 꼭짓점이 새 모서리로 연장되기 때문이다. 이는 3차원에서 마름모십이면체와 늘린 십이면체의 관계와 비슷하다.

마름모 타일링

육각형 타일링

둘 사이의 관계를 사용

어떤 육각형 타일을 2개, 3개, 4개, 또는 9개의 합동인 오각형으로 나눌 수도 있다.

정육각형을 2개의 오각형으로 나눠서 만든 오각형 테셀레이션 유형 1

정육각형을 3개의 오각형으로 나눠서 만든 오각형 테셀레이션 유형 3

준정육각형을 4개의 오각형으로 나눠서 만든 오각형 테셀레이션 유형 4

정육각형을 3개나 9개의 오각형으로 나눠서 만든 오각형 테셀레이션 유형 3

관련된 다면체

육각형 면을 가진 이 다면체는 정육각형 타일링과 위상적으로 관련이 있다. 정육각형 타일링부터 시작해서(n=3), 슐레플리 기호 {6,n}과 콕서터 다이어그램 으로 표현되며 n은 무한으로 발산한다.

*정다각형 타일링의 n62 대칭 변형: {6,n} v • d • e • h
구면	유클리드	콤팩트 쌍곡					파라콤팩트
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	{6,∞}

아래 테셀레이션은 꼭짓점 도형 n³이 있는 정다면체와 위상적으로 관련이 있는데, 이는 쌍곡공간에서 계속된다.

*정다각형 타일링의 n42 대칭의 변형: {n,3} v • d • e • h
구면				유클리드	콤팩트 쌍곡면		파라콤팩트	콤팩트하지 않은 쌍곡면
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

비슷하게 n.6.6. 모양의 꼭짓점 배치를 가진 깎은 정다면체와도 관련이 있다.

이 타일링은 깎은 마름모꼴 다면체 중 하나이며 콕서터 군 대칭을 가졌다. 정육면체를 마름모육면체에서 볼 수 있다. 깎인 도형은 깎인 꼭짓점에 정n각형이 생기고 정다각형이 아닌 육각형 면도 생긴다.

같이 보기

• 정다각형 타일링