원자 단위계

원자 단위계(au)는 원자 물리학, 전자기학, 양자전기역학 등에서 자주 쓰이는 단위로써 전자의 특성에 보다 집중하기 위한 단위계이다. 두 가지 다른 원자 단위가 있는데, 하나는 하트리 원자 단위(Hartree atomic units)이며 다른 하나는 리드베리 원자 단위인데, 둘은 질량과 전하에 대한 양을 다르게 선택하고 있다. au에서, 다음 네 가지 기본 물리상수들은 모두 1로 정의된다:

• 전자 질량
• 기본 전하
• 환산 플랑크 상수
• 쿨롱 상수

이것은 천문 단위(역시 'au'로 표기된다)와 혼동해서는 안된다.

기본 원자 단위

기본 원자 단위
단위	이름	기호	SI단위계에서의 값
질량	전자 정지 질량	${\displaystyle \!m_{e}}$	9.109 3826(16)×10^−31 kg
전하	기본 전하	${\displaystyle \!e}$	1.602 176 53(14)×10^−19 C
각운동량	환산 플랑크 상수	${\displaystyle \hbar =h/(2\pi )}$	1.054 571 68(18)×10^−34 J·s

유도 원자 단위

α는 미세구조상수, ε₀은 진공에서의 유전율, c는 광속, k_B는 볼츠만 상수이다.

Derived Atomic Units
단위	이름	기호	SI단위계에서의 값
길이	보어 반지름	${\displaystyle a_{0}=4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}/(m_{\mathrm {e} }e^{2})=\hbar /(m_{\mathrm {e} }c\alpha )}$	5.291 772 108(18)×10^−11 m
에너지	하트리 에너지	${\displaystyle \!E_{\mathrm {h} }=m_{\mathrm {e} }e^{4}/(4\pi \epsilon _{0}\hbar )^{2}=\alpha ^{2}m_{\mathrm {e} }c^{2}}$	2 Ry = 2 x 13.605 6923(12) eV = 4.359 744 17(75)×10^−18 J
시간		${\displaystyle \hbar /E_{\mathrm {h} }}$	2.418 884 326 505(16)×10^−17 s
속도		${\displaystyle a_{0}E_{\mathrm {h} }/\hbar =\alpha c}$	2.187 691 2633(73)×10^6 m·s^−1
힘		${\displaystyle \!E_{\mathrm {h} }/a_{0}}$	8.238 7225(14)×10^−8 N
온도		${\displaystyle \!E_{\mathrm {h} }/k_{\mathrm {B} }}$	3.157 7464(55)×10^5 K
압력		${\displaystyle E_{\mathrm {h} }/{a_{0}}^{3}}$	2.942 1912(19)×10^13 Pa
전기장		${\displaystyle E_{\mathrm {h} }/e}$	5.142×10^11 V·m^−1

양자역학과 전자기학의 단순화

SI단위계에서의 단일 전자에 대한 비상대론적 슈뢰딩거 방정식은

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$

이다. 이것의 au에서의 동일한 표현은

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$

이 된다. 왜냐하면 여기서 플랑크 상수와 전자 질량을 각각 1로 놓기 때문이다. 이것의 에너지 단위를 리드베리(Ry)로 쓰려면 위의 식에 2를 곱하면 된다.

또한 수소원자에서의 쿨롱 퍼텐셜에 대한 해밀토니안은 SI단위계에서

${\displaystyle {\hat {H}}=-{{{\hbar ^{2}} \over {2m_{e}}}\nabla ^{2}}-{1 \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{e^{2}} \over {r}}}$

이지만, 원자 단위계에서는

${\displaystyle {\hat {H}}=-{{{1} \over {2}}\nabla ^{2}}-{{1} \over {r}}}$

와 같이 간단하게 된다.

au에서의 맥스웰 방정식은 다음과 같다:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-\alpha {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\alpha \left({\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+4\pi \mathbf {J} \right)}$

같이 보기

• 플랑크 단위계
• 자연 단위계
• CGS 단위계

참고

• G.W.F. Drake (ed.) (2006). 《Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics》 2판. Springer. ISBN 978-0-387-20802-2. 

외부 링크

• CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants.