심플렉틱 리 대수

리 군론에서 심플렉틱 리 대수(symplectic Lie代數, 영어: symplectic Lie algebra)는 심플렉틱 군에 대응되는 리 대수이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle V}$ 위의 교대 쌍선형 형식 ${\displaystyle \Omega \colon \textstyle \bigwedge ^{2}V\to K}$, ${\displaystyle \Omega (v,v)=0}$

그렇다면, ${\displaystyle V}$ 위의 자기 준동형들로 구성된 ${\displaystyle K}$-리 대수

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V;K)=\operatorname {End} _{K}(V)=\hom _{K}(V,V)}$

의 다음과 같은 ${\displaystyle K}$-부분 가군은 부분 리 대수를 이룬다.

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(V;K)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)\colon \Omega (u,Sv)=\Omega (v,Su)\quad \forall u,v\in V\}}$

증명:

${\displaystyle \Omega (u,MNv)=-\Omega (Mu,Nv)=\Omega (NMu,v)=-\Omega (v,NMu)}$ 이므로,

${\displaystyle \Omega (u,[M,N]v)=-\Omega (v,[N,M]u)=\Omega (v,[M,N]u)}$

이다.

이를 ${\displaystyle V}$ 위의, ${\displaystyle \Omega }$에 대한 심플렉틱 리 대수라고 한다.

성질

만약 ${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 체이며, ${\displaystyle V}$가 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이며, ${\displaystyle \Omega }$가 비퇴화 교대 쌍선형 형식이라고 하자. 이 경우, ${\displaystyle V}$는 항상 짝수 차원이며,

${\displaystyle \dim _{K}{\mathfrak {sp}}(V,\Omega )={\frac {1}{2}}(\dim _{K}V)(1+\dim _{K}V)}$

이다.

만약 ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$이며, ${\displaystyle V}$가 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간일 때, ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(V,\Omega )}$는 심플렉틱 군 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (V,\Omega )}$의 리 대수이다.

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(V,\Omega )=\operatorname {Lie} (\operatorname {Sp} (V,\Omega ))}$

표수 2

만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2라면, 교대 쌍선형 형식은 자동적으로 대칭 쌍선형 형식이 되며, 이에 따라 ${\displaystyle \Omega }$에 대한 직교 리 대수를 정의할 수 있다. 그런데 직교 리 대수의 조건은 ${\displaystyle \Omega (v,Mv)=0}$이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,\Omega )\subseteq {\mathfrak {sp}}(V,\Omega )\subseteq {\mathfrak {gl}}(V;K)}$

예

만약 ${\displaystyle \Omega =0}$일 때, ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(V,0)={\mathfrak {gl}}(V;K)}$이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Symplectic Lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.