비르팅거 부등식 (2-형식)

미분기하학에서 비르팅거 부등식은 빌헬름 비르팅거의 이름을 따서 명명된 정리이다. 이에 따르면, ${\displaystyle n}$ 복소수 차원의 켈러 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에서, 켈러 형식 ${\displaystyle \omega }$의 ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$번 쐐기곱에 단위 부피의 단순 (분해 가능) ${\displaystyle 2k}$-벡터를 대입한 결과는 ${\displaystyle k!}$를 상계로 한다.^[1] 즉, 모든 정규 직교 벡터 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{2k}}$에 대하여,

${\displaystyle (\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})\leq k!}$

다시 말해, ${\displaystyle \omega ^{k}/k!}$는 ${\displaystyle M}$ 위의 측정 형식이다. 등식이 성립할 필요충분조건으로부터, 켈러 다양체의 모든 부분 복소다양체는 그 호몰로지류에서 부피가 최소임을 보일 수 있다.

같이 보기

• 미분 형식
• 수축량

참고 문헌

1. Federer 1969, Section 1.8.2 sfnm error: 대상 없음: CITEREFFederer1969 (help).

• Federer, Herbert (1969). 《Geometric measure theory》. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 153. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7. MR 0257325. Zbl 0176.00801.