본질적 특이점

z=0에서 나타나는 본질적 특이점을 중심으로 하는 함수 exp(1/z)의 그래프이다. 색조는 편각을 나타내며 명도는 절댓값을 나타낸다. 이 그림은 서로 다른 방향에서 본질적인 특이점에 접근하는 것이 어떻게 다른 경향이 나타나는지를 보여준다 (어떤 방향에서 접근하든지 균일하게 하얀 극점과는 반대다).

복소 함수 6w=exp(1/(6z))의 본질적 특이점을 나타내는 모형이다

복소해석학에서 함수의 본질적 특이점(영어ːessential singularity)은 함수가 이상하게 움직이는 "심한" 특이점이다.

범주 본질적 특이점은 특별히 다루기 힘든 "나머지" 또는 기본 특이점 그룹이다: 정의에 의해 이것들은 특정 방법으로 처리할 수 있는 두 범주(제거 가능 특이점과 극점)에 해당하지 않는다.

공식적인 설명

복소평면 C의 열린 부분집합 U를 생각하자. a 를 U의 원소라고 하고 f를 f : U \ {a} → C인 정칙함수라고 하자. 이 특이점 a가 극점이나 제거 가능 특이점이 아니라면 f 의 본질적 특이점이라고 한다.

예를 들면 함수 f(z) = e^1/z는 z = 0에서 본질적 특이점을 가지고 있다.

다른 설명

a를 복소수이고 f(z) 가 a에서 정의되어있지 않지만 복소평면의 일부 영역 U에서 해석적이고 a의 열린 근방이 U와 빠짐없이 만난다고 가정하자.

만약

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$와   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$가 둘 다 존재하면 a 는 f와 1/f 의 제거 가능 특이점이다.

만약

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$a는 f 의 근이고1/f의 극점이다.

유사하게

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$a는 f 의 극점이며 1/f의 근이다.

만약

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$a는 f와 1/f 모두의 본질적 특이점이다.

본질적 특이점을 특정화 하기 위한 다른 방법으로는 a에서 f의 로랑 급수는 무한히 많은 음의 항을 가진다(즉, 로랑 급수의 주요 부분은 무한 급수이다). 관련 정의는 ${\displaystyle f(z)(z-a)^{n}}$에서 ${\displaystyle z}$가 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle f(z)}$.^[1]

본질적 특이점 주변에서의 정칙함수의 움직임은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 상당히 강력한 피카르의 정리에 의해 증명된다. 후자는 본질적 특이점 a주변에서 함수 f는 하나를 제외하고 모든 복소수 값을 무한히 많이 가진다는 것을 말한다.

각주

1. Weisstein, Eric W. “Essential Singularity”. MathWorld, Wolfram. 2014년 2월 11일에 확인함. 

외부 링크

• An Essential Singularity by Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.
• Essential Singularity on Planet Math