보손화

보손화(boson化, 영어: bosonization)는 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손이 서로 동등한 현상이다.^[1][2][3] 이에 따라, 2차원 등각장론에서는 일반적인 스핀-통계 정리가 무의미하며, 임의로 입자의 통계를 정할 수 있다. 대략, 한 쌍의 페르미온이 짝을 지어 보손을 이루는 것으로 이해할 수 있다.

전개

바일 페르미온의 보손화

2차원 등각 장론에서 바일 스피너로 다루는 페르미온을 생각하자. 2차원 바일 스피너는 하나의 복소수 성분을 지니고, 또 전칙함수 및 반정칙함수의 합

${\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})=\psi (z)+{\bar {\psi }}({\bar {z}})}$

으로 나타낼 수 있다. 또한 (반)전칙함수로 나타나는 복소 스칼라 ${\displaystyle \phi (z)}$와 ${\displaystyle {\bar {\phi }}({\bar {z}})}$를 생각하고, 스칼라장의 전파 인자를 다음과 같이 규격화하자.

${\displaystyle \langle \phi (z)\phi (z')\rangle =-{\frac {\alpha '}{2}}\ln(z-z')}$

${\displaystyle \langle {\bar {\phi }}({\bar {z}}){\bar {\phi }}({\bar {z}}')\rangle =-{\frac {\alpha '}{2}}\ln({\bar {z}}-{\bar {z}}')}$

이 경우, 일차장들의 등각 무게 ${\displaystyle (h,{\bar {h}})}$는 다음과 같다.

일차장	${\displaystyle h}$	${\displaystyle {\bar {h}}}$
${\displaystyle \partial \phi (z)}$	1	0
${\displaystyle {\bar {\partial }}{\bar {\phi }}({\bar {z}})}$	0	1
${\displaystyle :\exp(ik\phi (z)):}$	${\displaystyle k^{2}\alpha '/4}$	0
${\displaystyle :\exp(ik{\bar {\phi }}({\bar {z}})):}$	0	${\displaystyle k^{2}\alpha '/4}$
${\displaystyle \psi (z)}$	1/2	0
${\displaystyle {\bar {\psi }}({\bar {z}})}$	0	1/2

따라서, ${\displaystyle \psi (z)}$와 ${\displaystyle \exp(-i{\sqrt {2/\alpha '}}\phi )}$의 무게가 일치하는 것을 볼 수 있다. 또한, 이들의 연산자 곱 전개 (OPE) 및 에너지-운동량 텐서를 비교해 보면,

${\displaystyle \psi (z)=:\exp(-i{\sqrt {2/\alpha '}}\phi (z)):}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}({\bar {z}})=:\exp(-i{\sqrt {2/\alpha '}}{\bar {\phi }}({\bar {z}})):}$

${\displaystyle :\psi (z){\bar {\psi }}(z):=i\partial \phi (z)}$

와 같이 대응시키면 모든 성질이 같은 사실을 알 수 있다. 여기서 ${\displaystyle :\cdots :}$는 표준 순서다. 즉 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손이 동등하다는 사실을 알 수 있다.

디랙 페르미온의 보손화

마찬가지로, 디랙 페르미온

${\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})=\psi (z)+{\bar {\psi }}({\bar {z}})}$

은 주기가 ${\displaystyle 2\pi }$인 실수 스칼라 보손

${\displaystyle \phi (z,{\bar {z}})=\phi (z)+{\bar {\phi }}({\bar {z}})\in \mathbb {R} /2\pi }$

으로 보손화된다. 구체적으로, 대응 관계는 다음과 같다. 여기서 ${\displaystyle \mu }$는 표준 순서 ${\displaystyle :\cdots :}$를 가하는 에너지 눈금이다. (질량항의 경우, 등각 대칭을 깨므로 이 에너지 눈금이 중요해진다.)

디랙 페르미온의 보손화^[3]^:136

설명	보손	페르미온
보존류 (정칙) ${\displaystyle j(z)}$	${\displaystyle i\partial \phi (z)}$	${\displaystyle :\psi ^{\dagger }(z)\psi (z):}$
보존류 (반정칙) ${\displaystyle {\bar {j}}({\bar {z}})}$	${\displaystyle i\partial \phi (z)}$	${\displaystyle :{\bar {\psi }}^{\dagger }({\bar {z}}){\bar {\psi }}({\bar {z}}):}$
페르미온 (정칙)	${\displaystyle :\exp(i\phi (z)):}$	${\displaystyle \psi (z)}$
페르미온 (반정칙)	${\displaystyle :\exp(i\phi ({\bar {z}})):}$	${\displaystyle {\bar {\psi }}({\bar {z}})}$
에너지-운동량 텐서 (정칙) ${\displaystyle T(z)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}:\partial \phi (z)\partial \phi (z):}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}:\psi ^{\dagger }(z)\partial \psi (z)-\partial \psi ^{\dagger }(z)\psi (z):}$
에너지-운동량 텐서 (반정칙) ${\displaystyle T(z)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}:\partial {\bar {\phi }}({\bar {z}})\partial {\bar {\phi }}({\bar {z}}):}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}:{\bar {\psi }}^{\dagger }({\bar {z}})\partial {\bar {\psi }}({\bar {z}})-\partial {\bar {\psi }}^{\dagger }({\bar {z}}){\bar {\psi }}({\bar {z}}):}$
질량항	${\displaystyle \mu :\cos(\phi (z)+{\bar {\phi }}({\bar {z}})):}$	${\displaystyle {\bar {\psi }}^{\dagger }({\bar {z}})\psi (z)+\psi ^{\dagger }(z){\bar {\psi }}({\bar {z}})}$

비아벨 보손화

만약 페르미온 계가 비아벨 맛깔 대칭 등을 갖는다고 하자. 2차원에서는 이에 따라 계가 아핀 리 대수 대칭을 갖게 된다. 이 경우, 보손화는 이 대칭을 보존하여야 한다. 이 경우, 일반적인 (아벨) 보손화 대신 비아벨 보손화(영어: non-Abelian bosonization)를 사용한다. 이 경우, 페르미온 계의 보손화는 적절한 아핀 리 대수 대칭을 갖는 베스-추미노-위튼 모형이다. 이를 사용하여, 예를 들어 2차원 양자 색역학을 보손화하여 완전히 풀 수 있다.

비아벨 보손화는 에드워드 위튼이 1984년 도입하였다.^[4]

보손화의 예

보손화를 통해, 하나의 보손 장을 가진 사인-고든 모형과 하나의 페르미온 장을 가진 티링 모형이 서로 동등하게 된다. 이는 S-이중성의 간단한 예이다.

상호작용하는 페르미온을 나타내는 도모나가-루팅거 모형(영어: Tomonaga-Luttinger model)은 보손화를 통해 자유 보손 이론으로 치환하여, 완전히 풀 수 있다.

응용

보손화는 응집물질물리학에서 중요한 역할을 한다. 초전도체를 다루는 BCS 이론에서는 두 전자가 쿠퍼 쌍을 이루어 보손처럼 행동하여 초전도를 가능하게 한다. 또한, 헬륨-3이나 리튬-7과 같은 페르미온이 보손화하면 보스-아인슈타인 응축 상태에 도달할 수 있다.

보손화는 끈 이론에서도 쓰인다. 예를 들어, RNS 초끈을 다룰 때 나타나는 페르미온 장 ${\displaystyle \psi }$와 페르미온 유령 ${\displaystyle \beta ,\gamma }$는 보손화를 통하여 간단히 다룰 수 있다.

각주

1. Stone, Michael (1994). 《Bosonization》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/9789812812650. ISBN 978-981-02-1847-8.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. Gogolin, Alexander O.; Alexander A. Nersesyan, Alexei M. Tsvelik (2004년 12월). 《Bosonization and Strongly Correlated Systems》 (영어). Cambridge University Press. arXiv:cond-mat/9909069. Bibcode:1999cond.mat..9069G. ISBN 9780521617192.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
3. Frishman, Yitzhak; Jacob Sonnenschein (2010). 《Non-perturbative field theory: from two-dimensional conformal field theory to QCD in four dimensions》. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. arXiv:1004.4859. doi:10.1017/CBO9780511770838. ISBN 978-052166265-9. Zbl 1213.81007.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
4. Witten, Edward (1984). “Non-abelian bosonization in two dimensions”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 92 (4): 455–594. doi:10.1007/BF01215276. ISSN 0010-3616. MR 0736403. Zbl 0536.58012. 

• Sénéchal, David (2003). 〈An introduction to bosonization〉. 《Theoretical Methods for Strongly Correlated Electrons》 (영어). Springer. 139–186쪽. arXiv:cond-mat/9908262. Bibcode:1999cond.mat..8262S. doi:10.1007/0-387-21717-7_4. ISBN 0387008950. 
• Rao, Sumathi; Diptiman Sen (2000). “An introduction to bosonization and some of its applications” (영어). arXiv:cond-mat/0005492. Bibcode:2000cond.mat..5492R.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Jan von Delft, Herbert Schoeller (1998년 11월). “Bosonization for beginners — refermionization for experts”. 《Annalen der Physik》 (영어) 7 (4): 225–305. arXiv:cond-mat/9805275. Bibcode:1998AnP.....7..225V. doi:10.1002/(SICI)1521-3889(199811)7:4<225::AID-ANDP225>3.0.CO;2-L. 
• Miranda, E. (2003). “Introduction to Bosonization” (PDF). 《Brazilian Journal of Physics》 (영어) 33 (1): 3–35. ISSN 0103-9733.