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라마누잔 g함수와 G 함수는 모듈러 함수에서 유도된 함수이다. 이 함수의 이름은 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔에서 유래됐으며, g함수와 G함수는 타원 모듈러 람다 함수와 대수적 관계를 갖는다. 모듈러 람다 함수는 합동 부분군 Γ(2)에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 타원 모듈러 람다 함수 λ*(x)의 아크탄젠트를 두 배로 늘리는 코탄젠트는 함수 g(x)의 12 제곱과 정확히 동일하다. 타원 모듈러 람다 함수 λ*(x)의 아크사인을 두 배로 늘리는 코시컨트는 함수 G(x)의 12 제곱과 정확히 동일하다.

정의

라마누잔에 따른 정의:

g(x)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\exp \left({\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}\right)\prod _{a=0}^{\infty }\{1-\exp[-(2a+1)\pi {\sqrt {x}}]\}

G(x)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\exp \left({\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}\right)\prod _{a=0}^{\infty }\{1+\exp[-(2a+1)\pi {\sqrt {x}}]\}

타원 모듈러 람다 함수를 기반으로하는 함수 g(x) 및 G(x)의 정의:

g(x)=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{-1/12}

G(x)=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\}^{-1/12}

데데킨트 에타 함수에 기반한 정의:

g(x)=2^{-1/4}\,\eta ({\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {x}})\,\eta (i{\sqrt {x}})^{-1}=

=2^{-1/4}{\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp {\biggl [}-(6a+1)^{2}{\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp {\biggl [}-(6a+1)^{2}{\frac {\pi }{12}}{\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{-1}

G(x)=2^{-1/4}\,\eta ({\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {x}})^{-1}\,\eta (i{\sqrt {x}})^{2}\,\eta (2i{\sqrt {x}})^{-1}

역함수

역함수를 표현하려면 제 1 종의 완전한 타원 적분만 필요하다:

g^{\langle -1\rangle }(x)=K({\sqrt {2}}x^{6}{\sqrt {{\sqrt {x^{24}+1}}-x^{12}}})^{2}K({\sqrt {x^{24}+1}}-x^{12})^{-2}

G^{\langle -1\rangle }(x)=K{\biggl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+x^{-12}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x^{-12}}}{\biggr )}^{2}K{\biggl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+x^{-12}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x^{-12}}}{\biggr )}^{-2}

다음 문장이 유효하다:

면:

g(x_{1}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}

, 그런:

g(x_{1}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {Q} ^{+}

면:

G(x_{2}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}

, 그런:

G(x_{2}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {Q} ^{+}

성질

라마누잔 함수 g(x) 과 G(x) 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나. 이 초등이 아닌 초등 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다:

G(x)=2^{-1/8}g(x)^{-1/2}[{\sqrt {g(x)^{24}+1}}+g(x)^{12}]^{1/8}

G(x)=G(1/x)

g(4x)=2^{1/4}g(x)G(x)

g(x)g(4/x)=1

g(9x)^{12}-g(x)^{12}=2{\sqrt {2}}g(x)^{9}g(9x)^{9}+2{\sqrt {2}}g(x)^{3}g(9x)^{3}

g(25x)^{6}-g(x)^{6}=2g(x)^{5}g(25x)^{5}+2g(x)g(25x)

g(49x)^{8}+g(x)^{8}-7g(x)^{4}g(49x)^{4}=2{\sqrt {2}}g(x)^{7}g(49x)^{7}+2{\sqrt {2}}g(x)g(49x)

g(121x)^{12}-g(x)^{12}=

=2{\sqrt {2}}g(x)g(121x)[g(x)^{2}g(121x)^{2}+1][g(x)^{4}g(121x)^{4}+3g(x)^{2}g(121x)^{2}+1][2g(x)^{4}g(121x)^{4}+3g(x)^{2}g(121x)^{2}+2]

[g(169x)^{2}-g(x)^{2}][g(169x)^{4}+g(x)^{4}-7g(x)^{2}g(169x)^{2}]\{[g(169x)^{2}-g(x)^{2}]^{4}-g(x)^{2}g(169x)^{2}[g(169x)^{2}+g(x)^{2}]^{2}\}=

=8g(x)^{13}g(169x)^{13}+8g(x)g(169x)

특별한 값

중요한 피솟 비자야라가브한 상수:

상수의 이름	대수 표현	방정식
황금비	$\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$	$\Phi ^{2}-\Phi -1=0$
은 비율	$\delta _{S}={\sqrt {2}}+1$	$\delta _{S}^{2}-2\delta _{S}-1=0$
청동 비율	$\delta _{B}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {13}}+3)$	$\delta _{B}^{2}-3\delta _{B}-1=0$
트리보나치 상수	$T_{TRI}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}$	$T_{TRI}^{3}-T_{TRI}^{2}-T_{TRI}-1=0$
플라스틱 수	$\rho ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12}}({\sqrt[{3}]{9+{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{9-{\sqrt {69}}}})$	$\rho ^{3}-\rho -1=0$
초황금비	$\psi ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116+12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116-12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{3}}$	$\psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0$