닫힌 작용소

함수해석학에서 닫힌 작용소(영어: closed operator)는 그 그래프가 닫힌집합인, 조밀 집합 위에 정의된 선형 변환이다. 닫힐 수 있는 작용소(영어: closable operator)는 그 그래프의 폐포를 취하여 닫힌 작용소로 만들 수 있는 작용소이다. 이 경우, 에르미트 수반 등의 연산이 잘 정의된다.^[1]

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle E}$
• 하우스도르프 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle E}$의 조밀 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-부분 벡터 공간 ${\displaystyle D\subseteq E}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle A\colon D\to F}$

그렇다면, ${\displaystyle A}$의 그래프

${\displaystyle \operatorname {graph} A=\{(x,Ax)\colon x\in D\}\subseteq E\oplus F}$

를 생각할 수 있다.

${\displaystyle A}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 ${\displaystyle A}$를 닫힌 작용소라고 한다.^[1]:63

• ${\displaystyle A}$의 그래프가 위상 벡터 공간 ${\displaystyle E\oplus F}$의 닫힌집합이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in E}$ 및 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\subseteq D}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=x}$이며 ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }Ax_{i}=y\in F}$라면, ${\displaystyle x\in D}$이며 ${\displaystyle y=Ax}$이다.

물론, 만약 ${\displaystyle E}$ 및 ${\displaystyle F}$가 프레셰 공간이라면, 둘째 조건에서 그물 대신 점렬을 사용해도 된다.

닫힐 수 있는 작용소

다음이 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle E}$의 조밀 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-부분 벡터 공간 ${\displaystyle D\subseteq E}$
• 연속 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle A\colon D\to F}$

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 ${\displaystyle A}$를 닫힐 수 있는 작용소라고 한다.^[1]:63

• ${\displaystyle \operatorname {graph} {\bar {A}}=\operatorname {cl} (\operatorname {graph} A)}$인 연속 선형 변환 ${\displaystyle {\bar {A}}\colon {\bar {D}}\to F}$이 존재한다. (여기서 ${\displaystyle {\bar {D}}=\operatorname {proj} _{E}\operatorname {graph} {\bar {A}}}$이다.)
• 임의의 ${\displaystyle x\in E}$ 및 두 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\subseteq D}$ 및 ${\displaystyle (x'_{i'})_{i'\in I'}\subseteq D}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=\lim _{i'\to \infty }x_{i'}=x}$이며 ${\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }Ax_{i}=y}$이며 \textstyle\lim_{i'\to\infty}x'_{i'} = y'</math>라면, ${\displaystyle y=y'}$이다.

다시 말해, 닫힐 수 있는 작용소에서는, 임의의 ${\displaystyle E}$의 원소에서 ${\displaystyle A}$의 값을 그물 또는 점렬의 극한으로 정의하려고 한다면, 이러한 가능한 정의는 (만약 가능하다면) 유일하다.

이 경우, ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {graph} A)}$로 정의되는 작용소를 ${\displaystyle {\bar {A}}}$로 표기하며, ${\displaystyle A}$의 폐포(영어: closure)라고 한다.

성질

${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 ${\displaystyle H}$의 조밀 부분 집합

${\displaystyle D\subseteq E}$

위의 선형 변환

${\displaystyle A\colon H\to H}$

의 에르미트 수반을 정의하려 한다고 하자. 이 경우, 그 수반의 정의역은

${\displaystyle \operatorname {dom} A^{*}=\left\{x\in H\colon \langle x|A\in {\mathcal {H}}^{*}\cong {\mathcal {H}}\right\}}$

이다. 이것이 조밀 집합일 필요 충분 조건은 ${\displaystyle A}$가 닫힐 수 있는 작용소인 것이다.

이 경우, ${\displaystyle A}$가 닫힐 수 있는 작용소일 때

${\displaystyle {\bar {A}}=A^{**}}$

이다. 즉, 닫힌 작용소의 경우 ${\displaystyle A={\bar {A}}=A^{**}}$이다.

힐베르트 공간 위의 모든 대칭 작용소는 닫힐 수 있는 작용소이다. 힐베르트 공간 위의 모든 자기 수반 작용소(${\displaystyle A=A^{*}}$)는 닫힌 작용소이다.

즉, 힐베르트 공간 위에서 다음 포함 관계가 성립한다.

대칭 작용소	⊂	닫힐 수 있는 작용소
∪		∪
자기 수반 작용소	⊂	닫힌 작용소
		∪
		유계 작용소

닫힌 그래프 정리

두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ 사이의, ${\displaystyle E}$ 전체에 정의된 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle A\colon E\to F}$을 생각하자. 이 경우, ${\displaystyle A}$가 닫힌 작용소인 것은 ${\displaystyle A}$가 유계 작용소인 것과 동치이다. 이를 닫힌 그래프 정리(영어: closed graph theorem)라고 한다.

참고 문헌

1. Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004. 

외부 링크

• “Closed operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Stover, Christopher. “ClosedOperator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Stover, Christopher. “CloseableOperator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.