다항식 전개

다항식 전개(多項式 展開, 영어: polynomial expansion)는 인수 분해된 다항식을 인수들끼리 분배법칙을 이용하여 곱셈을 한 다음, 동류항들끼리 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 덧셈뺄셈을 하여 다시 푸는 과정이다. 이렇게 전개된 식을 전개식(展開式)이라고 한다.

이처럼 다항식의 전개와 인수분해는 곱셈공식으로 표현되는 정보교환관계에 있어서 중요한 역할을 한다.

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 전개는 분배법칙을 이용하여 분배한 이후, 동류항끼리 계산하여 정리한다.

다항식들의 동류항끼리 덧셈과 뺄셈을 하는 것은 다항식의 연산의 핵심이다.

예를 들어, 다항식

${\displaystyle f(x)=2x^{3}-5x+9}$와 ${\displaystyle g(x)=x^{3}+2x^{2}+8x-1}$에 대하여

${\displaystyle 2f(x)-g(x)}$

${\displaystyle =2(2x^{3}-5x+9)-(x^{3}+2x^{2}+8x-1)}$

${\displaystyle ={4x^{3}-10x+18}-{x^{3}+2x^{2}+8x-1}}$

${\displaystyle =3x^{3}-2x^{2}-18x+19}$이다.

잘 알려진 곱셈 공식

모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

2차식

좌표평면에서의 곱셈공식의 의미

• ${\displaystyle \,m(a\pm b)=ma\pm mb}$
• ${\displaystyle \,(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}$
• ${\displaystyle \,(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$
• ${\displaystyle \,(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$
• ${\displaystyle \,(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$
• ${\displaystyle \,(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab}$
• ${\displaystyle \,(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+b}$
• ${\displaystyle \,(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}$
• ${\displaystyle \,(ax+by)(cx+dy)=acx^{2}+(ad+bc)xy+bdy^{2}}$
• ${\displaystyle \,(ax+by+c)(dx+ey+f)=adx^{2}+(af+cd)x+(ae+bd)xy+bey^{2}+(bf+ce)y+cf}$

아래 2차식들은 곱셈 공식의 변형의 일부이다.

• ${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca={\frac {1}{2}}\left\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right\}}$
• ${\displaystyle \,(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,(a+b)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}}$
• ${\displaystyle \,(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab,(a-b)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}}$
• ${\displaystyle (a-b)^{2}+2ab=(a+b)^{2}-2ab,(a-b)^{2}+4ab=(a+b)^{2},(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab}$

3차식

• ${\displaystyle \,(x\pm a)(x\pm b)(x\pm c)=x^{3}\pm (a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x\pm abc}$
• ${\displaystyle \,(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}$
• ${\displaystyle \,(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3}}$
• ${\displaystyle \,(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}$
• ${\displaystyle \,{\frac {1}{2}}(a+b+c)\left\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right\}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}$
• ${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc}$

4차식

• ${\displaystyle \,(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})=a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}}$
• ${\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}$

또한, ${\displaystyle \,(a+b)^{n}}$ (단, ${\displaystyle \,n=}$ 자연수) 을 구할 때에는 (이항 전개) 일단 각 항의 계수는 생략하였음. 계수는 파스칼의 삼각형으로 구한다.

${\displaystyle \,(a+b)^{n}=a^{n}+a^{(n-1)}b+a^{(n-2)}b^{2}+a^{(n-3)}b^{3}+}$···${\displaystyle \,+a^{3}b^{(n-3)}+a^{2}b^{(n-2)}+ab^{(n-1)}+b^{n}}$

${\displaystyle \,a}$ 의 지수는 점점 작아지고, ${\displaystyle \,b}$ 의 지수는 점점 커지며, 전개한 후에는 모든 항이 ${\displaystyle \,n}$차식이 된다. 또한 생략된 각 계수는 파스칼의 삼각형을 이용해서 구하는데, 제곱은 3번째 줄, 세제곱은 4번째 줄, 네제곱은 5번째 줄 ${\displaystyle \,(n}$ 제곱은 ${\displaystyle \,(n+1)}$ 번째 줄 ${\displaystyle )}$의 숫자들을 하나씩 각 항의 앞에 계수로 사용하면 된다.

일반적인 곱셈 공식의 변형

다음은 대한민국의 2015년 개정 교육과정에서 쓰이는, 고등학교 1학년 수준의 곱셈 공식의 변형이다. (단, 2차식 내용의 일부는 중학교 3학년 과정이다.) 모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

2차식

QW452135435

• ${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}=(a\pm b)^{2}\mp 2ab}$
• ${\displaystyle \,(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab}$
• ${\displaystyle \,x^{2}+{1 \over x^{2}}=\left(x\pm {1 \over x}\right)^{2}\mp 2}$
• ${\displaystyle \,\left(x+{1 \over x}\right)^{2}-\left(x-{1 \over x}\right)^{2}=4}$
• ${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)}$
• ${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm ab\pm bc\pm ca={1 \over 2}\left\{(a\pm b)^{2}+(b\pm c)^{2}+(c\pm a)^{2}\right\}}$

3차식

• ${\displaystyle \,a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)}$
• ${\displaystyle \,x^{3}\pm {1 \over x^{3}}=\left(x\pm {1 \over x}\right)^{3}\mp 3\left(x\pm {1 \over x}\right)}$
• ${\displaystyle \,a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc}$

4차식

• ${\displaystyle \,(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})=a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}}$
• ${\displaystyle \,(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1}$

5차식 이상

• ${\displaystyle \,a^{5}+b^{5}=(a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})-a^{2}b^{2}(a+b)}$

※ 자연수인 ${\displaystyle \,n}$에 대하여, ${\displaystyle \,a^{n}+b^{n}}$은 다음과 같이 구한다. (단, ${\displaystyle \,k={1 \over 2}n}$, ${\displaystyle \,p=k-0.5}$ , ${\displaystyle \,q=k+0.5}$로 정의한다.)

${\displaystyle \,n}$이 짝수일 때, ${\displaystyle \,a^{n}+b^{n}=(a^{k}+b^{k})^{2}-2a^{k}b^{k}}$

${\displaystyle \,n}$이 홀수일 때, ${\displaystyle \,a^{n}+b^{n}=(a^{p}+b^{p})(a^{q}+b^{q})-a^{p}b^{p}(a+b)}$

같이 보기

• 곱셈 공식