뉴턴 다각형

대수적 수론에서 뉴턴 다각형(Newton多角形, 영어: Newton polynomial)은 국소체 계수의 다항식의 성질을 나타내는 다각형이며, 각 계수의 값매김으로 정의되는 점들의 볼록 껍질이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 완비 이산 값매김환 ${\displaystyle D}$. ${\displaystyle D}$의 분수체를 ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} D}$로 표기하자.
• 다항식 ${\displaystyle p=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}\in K[x]}$

${\displaystyle K}$ 위의 이산 값매김을

${\displaystyle \nu \colon K\setminus \{0\}\to \mathbb {Z} }$

로 표기하자. 편의상

${\displaystyle \nu (0)=+\infty }$

로 놓자.

그렇다면, 확장된 실수 평면 속의 다음과 같은 점들을 생각하자.

${\displaystyle \{(i,\nu (a_{i}))\colon i\in \mathbb {Z} \}\subsetneq (\mathbb {Z} \sqcup \{\infty \})^{2}\subsetneq (-\infty ,\infty ]^{2}}$

이 점들을 포함하는 볼록 껍질을 ${\displaystyle p}$의 뉴턴 다각형이라고 한다.

성질

다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$ 및 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이산 값매김을 ${\displaystyle {\bar {K}}}$에 다음과 같이 확장할 수 있다.

${\displaystyle {\bar {\nu }}\colon K^{\times }\to \mathbb {Q} }$

${\displaystyle p}$의 뉴턴 다각형의 변의 수가 ${\displaystyle r}$이며, 각 변의 기울기가

${\displaystyle (\mu _{1},\dotsc ,\mu _{r})}$

이며, 각 변의 x축에 사영하였을 때의 길이가

${\displaystyle (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{r})}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle p}$의 ${\displaystyle {\bar {K}}}$에서의 근

${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{\deg p}}$

${\displaystyle p(\alpha _{i})=0}$

가운데, 값매김이 ${\displaystyle -\mu _{a}}$인 것의 수는 ${\displaystyle \lambda _{a}}$개이다.

예

5진 정수의 이산 값매김환 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ 계수의 6차 다항식

${\displaystyle 1+5x+5^{-1}x^{2}+3x^{3}+5^{2}x^{5}+5^{2}x^{5}+5^{4}x^{6}}$

을 생각하자. 그렇다면, 뉴턴 다항식을 정의하는 점들은 다음과 같다.

${\displaystyle \{(0,0),(1,1),(2,-1),(3,0),(4,\infty ),(5,2),(6,4),(7,\infty ),(8,\infty ),\dotsc \}}$

따라서, 그 볼록 껍질인 뉴턴 다각형은 다음과 같이 주어진다.

이 뉴턴 다각형은 세 개의 변으로 구성되며, 이들은 다음과 같다.

시작점	끝점	x축 사영 길이	기울기
(0,0)	(2,−1)	2	−½
(2,−1)	(5,2)	3	1
(5,2)	(6,4)	1	2

따라서, 이 다항식의 6개의 근 가운데, 5진 값매김이 ½인 것은 2개이며, −1인 것은 3개이며, −2인 것은 1개이다.

역사

아이작 뉴턴이 하인리히 올덴부르크(독일어: Heinrich Oldenburg, 영어: Henry Oldenburg 헨리 올든버그^[*])에게 1676년에 보낸 편지에서 최초로 사용하였다.

같이 보기

• 아이젠슈타인 판정법

외부 링크

• Casselman, Bill (2018년 10월 21일). “Newton polygons” (PDF) (영어).