내접 사각형

기하학에서 내접 사각형(內接四角形, 영어: cyclic quadrilateral)은 네 꼭짓점이 한 원 위의 점인 사각형이다. 즉, 이는 어떤 원에 내접하는 사각형이며, 다시 말해 이는 외접원을 갖는 사각형이다.

정의

(볼록) 사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 네 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$가 공원점이라면, 이 사각형 ${\displaystyle ABCD}$를 내접 사각형이라고 한다. 모든 꼭짓점을 지나는 이 원을 사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 외접원이라고 하고, 이 원의 중심을 사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 외심이라고 한다.

성질

각

내접 사각형은 두 대각의 합이 180도인 사각형과 동치이다. 다시 말해, 내접 사각형의 외각은 내대각과 같으며, 반대로 외각이 내대각과 같은 사각형은 내접 사각형이다. 즉, 사각형 ${\displaystyle ABCD}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 사각형 ${\displaystyle ABCD}$는 내접 사각형이다.
• ${\displaystyle A+C=180^{\circ }}$
• ${\displaystyle B+D=180^{\circ }}$

증명:

만약 사각형 ${\displaystyle ABCD}$는 내접 사각형이라면, 꼭짓점 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle C}$에서의 내각은 각각 ${\displaystyle B}$와 ${\displaystyle D}$를 끝점으로 하는 합이 외접원의 두 켤레호에 대한 원주각이므로 합은 180도이다. 만약 ${\displaystyle A+C=180^{\circ }}$라면, 또한 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle C}$는 직선 ${\displaystyle BD}$의 서로 반대쪽에 위치하므로, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$는 공원점이며, 사각형 ${\displaystyle ABCD}$는 내접 사각형이다.

사각형의 네 내각의 이등분선으로 이루어진 사각형은 내접 사각형이다.^{[1]:35, §4.1}

증명:

사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle B}$와 ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle C}$와 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle D}$와 ${\displaystyle A}$에서의 내각의 이등분선이 각각 점 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$에서 만난다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle P=180^{\circ }-{\frac {1}{2}}A-{\frac {1}{2}}B}$

${\displaystyle R=180^{\circ }-{\frac {1}{2}}C-{\frac {1}{2}}D}$

이므로

${\displaystyle P+R=360^{\circ }-{\frac {1}{2}}(A+B+C+D)=180^{\circ }}$

이다.

대각선

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형은 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같은 사각형과 동치이다. 즉, 사각형 ${\displaystyle ABCD}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 사각형 ${\displaystyle ABCD}$는 내접 사각형이다.
• ${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}$

넓이

브라마굽타 공식에 따르면, 내접 사각형의 네 변의 길이가 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$라고 하고, 반둘레를 ${\displaystyle s}$라고 할 경우, 이 내접 사각형의 넓이는

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

이다.^{[2]:57, §3.2, Theorem 3.22} 만약 ${\displaystyle d=0}$이라고 하면, 내접 사각형은 변의 길이가 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$인 삼각형이 되고, 브라마굽타 공식은 헤론 공식

${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

가 된다.^{[2]:57, §3.2}

반중심

 브라마굽타 정리 § 일반화 문서를 참고하십시오.

내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 반중심(反中心, 영어: anticenter)이라고 한다.^{[1]:36, §4.2} 내접 사각형의 반중심은 무게 중심에 대한 외심의 반사상이다.

증명:

내접 사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 각 변 ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle DA}$의 중점을 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$라고 하고, 무게 중심 ${\displaystyle G}$에 대한 외심 ${\displaystyle O}$의 반사상을 ${\displaystyle T}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle G}$는 선분 ${\displaystyle OT}$와 ${\displaystyle PR}$의 공통 중점이므로, 삼각형 ${\displaystyle PTG}$와 ${\displaystyle ROG}$는 서로 ${\displaystyle G}$에 대한 반사상이며, 특히 ${\displaystyle PT}$와 ${\displaystyle OR}$는 평행한다. ${\displaystyle OR}$는 선분 ${\displaystyle CD}$의 수직 이등분선이므로, ${\displaystyle PT}$ 역시 ${\displaystyle CD}$의 수선이다.

내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 중점과 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수심이다.^{[1]:39, §4.2} 특히 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다. 즉, 만약 내접 사각형의 두 대각선이 직교한다면, 두 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다. 이를 브라마굽타 정리라고 한다.

증명:

내접 사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 대각선 ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle BD}$의 교점을 ${\displaystyle P}$라고 하고, 선분 ${\displaystyle AC}$의 중점을 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle BD}$의 중점을 ${\displaystyle N}$이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle G}$는 선분 ${\displaystyle MN}$의 중점이다. 또한 이는 외심 ${\displaystyle O}$와 반중심 ${\displaystyle T}$를 잇는 선분 ${\displaystyle OT}$의 중점이므로, 삼각형 ${\displaystyle MTG}$와 ${\displaystyle NOG}$는 서로 ${\displaystyle G}$에 대한 반사상이며, 특히 ${\displaystyle MT}$와 ${\displaystyle ON}$은 평행한다. ${\displaystyle ON}$은 선분 ${\displaystyle BD}$의 수직 이등분선이며, 특히 이는 삼각형 ${\displaystyle PMN}$의 변 ${\displaystyle PN}$의 수선이다. 따라서 ${\displaystyle MT}$ 역시 ${\displaystyle PN}$의 수선이다. 마찬가지로 ${\displaystyle NT}$는 ${\displaystyle PM}$의 수선이다. 즉, ${\displaystyle T}$는 삼각형 ${\displaystyle PMN}$의 수심이다.

같이 보기

• 외접원
• 방멱

각주

1. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 
2. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic quadrilateral”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Anticenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.