납땜 (수학)

미분기하학에서 납땜(영어: soldering)은 올다발의 수직 벡터 다발과 올다발의 밑공간의 접다발 사이의 동형 사상이다. 이를 통해, 올다발의 올들이 "수평 방향"으로 붙어 있다고 간주할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 매끄러운 올다발 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}$. 또한, ${\displaystyle E}$ 역시 다양체라고 하자.

그렇다면, ${\displaystyle E}$의 납땜 ${\displaystyle (o,\theta )}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 단면 ${\displaystyle o\in \Gamma (E)}$
• 매끄러운 벡터 다발의 동형 ${\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to o^{*}\mathrm {V} E}$. 여기서 ${\displaystyle \mathrm {V} E}$는 ${\displaystyle E}$의 수직 벡터 다발이며, ${\displaystyle o^{*}}$는 벡터 다발의 당김이다.

이에 따라, ${\displaystyle \theta }$는 다음과 같은, ${\displaystyle \mathrm {V} E}$값의 1차 미분 형식으로 여길 수 있다.

${\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(M;o^{*}\mathrm {V} E)}$

이를 납땜 형식(-形式, 영어: solder form)이라고 한다.

만약 ${\displaystyle E}$가 이미 매끄러운 벡터 다발이라면, 그 위의 납땜을 보통 암묵적으로 ${\displaystyle o\in \Gamma (E)}$가 ${\displaystyle o=0}$이 되게 잡는다.

성질

다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 올다발 ${\displaystyle E}$ 위에 납땜이 존재할 필요 조건은 ${\displaystyle \dim E=2\dim M}$인 것이다.

예

다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$은 자명한 납땜 형식을 갖는다. (이 경우 ${\displaystyle \mathrm {V} \mathrm {T} M=\mathrm {T} M}$이다.)

리만 다양체

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 일반화 리만 계량 ${\displaystyle g}$은, 공변접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ 위의 납땜 ${\displaystyle (o,\theta )}$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것과 사실상 동치인 개념이다.

${\displaystyle o=0}$이며, 임의의 ${\displaystyle x\in M}$ 및 ${\displaystyle u,v\in \mathrm {T} _{x}M}$에 대하여 ${\displaystyle \theta (u)(v)=\theta (v)u}$

위 조건은 일반화 리만 계량의 대칭성을 나타내며, 일반화 리만 계량의 비퇴화성은 ${\displaystyle \theta }$가 벡터 다발의 동형이어야 한다는 것에 해당한다.

구체적으로, 일반화 리만 계량 ${\displaystyle g}$는 벡터 다발의 동형

${\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$

${\displaystyle \theta \colon (x,v)\mapsto \left(x,g(v,-)\right)}$

을 정의한다. 반대로, 위 조건을 만족시키는 납땜 ${\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$이 주어졌을 때, 일반화 리만 계량

${\displaystyle g(u,v)=\left(\theta (u)\right)(v)=\left(\theta (v)\right)(u)}$

를 정의할 수 있다.

심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M,\omega )}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다발 사상

${\displaystyle \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,\omega (v,-))}$

은 공변접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ 위의 납땜을 정의한다.

연관 벡터 다발

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 리 군 ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle G}$-매끄러운 주다발 ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle G}$의 매끄러운 유한 차원 실수 표현 ${\displaystyle \rho \colon V\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )}$

이 경우, 연관 벡터 다발 ${\displaystyle P\times _{G}V}$를 구성할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle P\times _{G}V}$ 위의 납땜은 각 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 동형 사상

${\displaystyle \theta _{x}\colon \mathrm {T} _{x}M\to P\times _{G}V}$

로 주어진다.

즉, 이 경우 납땜 형식 ${\displaystyle \theta }$는 ${\displaystyle G}$-등변 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$값 1차 미분 형식

${\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$

가운데, ${\displaystyle \ker \theta =\mathrm {V} P}$인 것이다. 특히, ${\displaystyle \theta }$는 수평 미분 형식이다.^[1]:§5.1

이 경우, ${\displaystyle (P,\rho ,\theta )}$를 ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle G}$-구조(${\displaystyle G}$-構造, 영어: ${\displaystyle G}$-structure)라고 한다.^[1]:§5.1[2]

만약 추가로 ${\displaystyle \rho }$가 충실한 표현(즉, 단사 함수)일 경우, 이 경우 ${\displaystyle P}$는 1차 틀다발 ${\displaystyle \mathrm {F} ^{1}M}$의 부분 주다발이 된다. 구체적으로, ${\displaystyle p\in P}$에 대응하는 틀은 다음과 같다.

${\displaystyle v\mapsto \theta _{\pi (x)}^{-1}([(p,v)])\qquad (v\in V)}$

주다발

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 주다발 ${\displaystyle P}$의 납땜 ${\displaystyle (o,\theta )}$의 개념은 자명하다. 이는 단면 ${\displaystyle o\in \Gamma (P)}$의 존재에 따라 ${\displaystyle P}$가 대역적으로 자명한 주다발 ${\displaystyle P=M\times G}$이 되며, ${\displaystyle \mathrm {V} P=P\times {\mathfrak {g}}}$이므로 이에 따라

${\displaystyle \mathrm {T} M\cong M\times {\mathfrak {g}}}$

가 되기 때문이다. 즉, 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ 역시 자명한 벡터 다발이 된다.

이 때문에, 보통 "주다발 위의 납땜"은 사실 그 위의 어떤 연관 벡터 다발 위의 납땜을 뜻한다.

각주

1. Alekseevskky, Dmitri V.; Michor, Peter W. (1995). “Differential geometry of Cartan connections”. 《Publicationes Mathematicae Debrecen》 (영어) 47 (3-4): 349–375. arXiv:math/9412232. ISSN 0033-3883. 
2. Chern, Shiing-Shen (1966). “The geometry of G-structures”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 72 (2): 167–219. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11473-8. MR 0192436. Zbl 0136.17804. 

외부 링크

• “G-structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Cartan connection”. 《nLab》 (영어). 
• “Integrability of G-structures”. 《nLab》 (영어). 
• “Torsion of G-structures”. 《nLab》 (영어). 
• “Torsion of a Cartan connection”. 《nLab》 (영어).