Tor 함자

호몰로지 대수학에서 Tor 함자(Tor函子, 영어: Tor functor)는 가군 텐서곱 함자의 유도 함자다.

정의

${\displaystyle R}$이 (단위원을 가진) 환이고, ${\displaystyle _{R}{}\operatorname {Mod} }$이 ${\displaystyle R}$에 대한 왼쪽 가군들의 범주, ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$이 ${\displaystyle R}$에 대한 오른쪽 가군들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다.

오른쪽 가군 ${\displaystyle A\in \operatorname {Mod} _{R}}$와 왼쪽 가군 ${\displaystyle B\in {}_{R}\operatorname {Mod} }$의 텐서곱을 취하여 아벨 군 ${\displaystyle A\otimes _{R}B\in \operatorname {Ab} }$를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산 ${\displaystyle \otimes _{R}\colon \operatorname {Mod} _{R}\times {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Ab} }$는 쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$는 아벨 군들의 범주다.

${\displaystyle A\otimes _{R}\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Ab} }$는 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 그 왼쪽 유도 함자 ${\displaystyle L^{i}(A\otimes )}$를 취할 수 있다. 마찬가지로, ${\displaystyle \otimes _{R}B\colon \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Ab} }$ 또한 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자 ${\displaystyle L^{i}(\otimes _{R}B)}$를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

${\displaystyle L^{i}(A\otimes _{R})B=A(L^{i}\otimes _{R}B)=\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$

이다. 이 쌍함자 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}\colon \operatorname {Mod} _{R}\times {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Ab} }$를 Tor 함자라고 한다.

성질

Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i},\bigoplus _{j\in J}N_{j}\right)=\bigoplus _{i\in I}\bigoplus _{j\in J}\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M_{i},N_{j})}$

이다.

만약 ${\displaystyle R}$가 가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)\cong \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$

또한, 이 경우 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$은 ${\displaystyle R}$ 위의 가군의 구조를 갖는다.

만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이며, ${\displaystyle r\in R}$가 영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/(r),M)=\ker(r\cdot )=\{m\in M\colon rm=0\}}$

예

벡터 공간

체 ${\displaystyle K}$ 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이다. 즉, 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 사영 분해는 자명하다.

${\displaystyle 0\to P_{0}=V\to V\to 0}$

따라서, ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{K}(V,W)=V\otimes _{K}W}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{K}(V,W)=0\qquad \forall n>0}$

아벨 군

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 ${\displaystyle G}$는 자유 아벨 군 ${\displaystyle P_{0}}$의 몫군 ${\displaystyle P_{0}/P_{1}}$으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

${\displaystyle 0\to G\to P^{0}\to P^{1}\to 0}$

아벨 군 ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. ${\displaystyle G}$의 사영 분해가

${\displaystyle 0\to P^{1}{\xrightarrow {\iota }}P_{0}\to G\to 0}$

이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

${\displaystyle 0\to P_{1}\otimes _{\mathbb {Z} }H{\xrightarrow {\iota \otimes _{\mathbb {Z} }\operatorname {id} }}P_{0}\otimes _{\mathbb {Z} }H\to 0}$

따라서,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{\mathbb {Z} }(G,H)\cong G\otimes _{\mathbb {Z} }H}$

이며,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(G,H)\cong \ker(\iota \otimes _{\mathbb {Z} }\operatorname {id} )}$

이다. 특히,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,H)=0}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(0,H)=H}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /(n),H)=\operatorname {Tors} _{n}(H)=\{h\in H\colon nh=0\}}$

이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }\left(\bigoplus _{i}\mathbb {Z} /(n_{i}),H\right)=\bigoplus _{i}\operatorname {Tors} _{n_{i}}(H)}$

가 된다. 또한,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,H)=\operatorname {Tors} (H)=\{h\in H\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon nh=0\}}$

이므로 ${\displaystyle H}$의 꼬임 부분군이 된다.

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{\mathbb {Z} }(G,H)=G\otimes H}$

${\displaystyle G\backslash H}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$	${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$	${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})}$	0
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	${\displaystyle \mathbb {Q} }$	0	${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(G,H)}$

${\displaystyle G\backslash H}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$	${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	0	0	0
${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}$	0	${\displaystyle \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})}$	0
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	0	0	0

리 대수 호몰로지

 이 부분의 본문은 리 대수 호몰로지입니다.

리 대수 호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다.

어원

‘Tor’는 영어: torsion 토전^[*](꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군의 꼬임 부분군과 관련있기 때문이다.

같이 보기

• Ext 함자
• 그로텐디크 군

참고 문헌

• Gelfand, Sergei I.; Yuri Ivanovich Manin (1999). 《Homological algebra》 (영어). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-65378-3. 
• 李起安 (1972). “現代數學과 Homology 代數” (PDF). 《Bulletin of the Korean Mathematical Society》 9 (2): 83–99. ISSN 1015-8634. 

외부 링크

• “Tor”. 《nLab》 (영어). 
• “How to make Ext and Tor constructive” (영어). Math Overflow.