Hom 함자

수학에서, 특히 범주론에서 hom 집합 (즉, 대상 사이의 사상들의 집합)은 집합 범주에 대한 중요한 함자를 생성한다. 이러한 함자는 함자라고 하며 범주론 및 여러 수학 분야에 수많은 응용이 있다.

공식적인 정의

국소적으로 작은 범주(즉, hom-classes가 고유 모임이 아니고 집합인 범주)라고 가정한다.

의 모든 대상 에 대해 다음과 같이 집합 범주에 두 개의 함자를 정의한다.

Hom(A, –) : CSet Hom(–, B) : CSet[1]
이는 다음과 같이 주어지는 공변 함자이다:
  • 를 사상들의 집합 로 보낸다.
  • 는 각 사상 를 각 에 대해로 주어지는 함수로 보낸다.
이는 다음과 같이 주어지는 반변 함자이다:
  • 는 각 대상 를 사상들의 집합로 보낸다.
  • 는 각 사상 를 각 에 대해 로 보낸다.

함자 은 대상 의 점 함자라고도 한다.

의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함수가 발생하고 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반공변 함수가 생성된다.

한 쌍의 함자 자연스러운 방식으로 관련된다. 임의의 한 쌍의 사상 에 대해 도식

은 가환이다. 두 경로 모두 로 보낸다.

위 도식의 가환성은 이 첫째 항에 대해 반변하고 둘째 항에 대해 공변하는 에서 로 가는 쌍함자임을 함의 한다. 동등하게,

인 쌍함자라고 말할 수 있다. 여기서 의 반대 범주이다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 표기법이 사용되는 경우가 있다.

요네다 보조정리

위의 가환 도식을 참조하면, 모든 사상

자연 변환

을 가져온다. 그리고 모든 사상

은 자연 변환

을 가져온다. 요네다 보조정리 함자 사이의 모든 자연스러운 변환이 이 형식임을 의미한다. 즉, 함자는 함자 범주 (사용되는 함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 완전하고 충실하게 매장하도록 한다.

내부 Hom 함자

일부 범주에는 함자처럼 동작하는 함자가 있을 수 있지만 이 아니라 범주 자체의 값을 사용한다. 이러한 함자는 내부 함자라고 하며 종종 다음과 같이 작성된다.

곱과 같은 특성을 강조하거나

그것의 함자적 특성을 강조하기 위해, 또는 때로는 단순히 소문자로:

예를 보려면 관계 범주를 참조.

내부 Hom 함자가 있는 범주를 닫힌 범주라고 한다. 하나는 그것을 가지고

여기서 는 닫힌 범주의 단위 대상이다. 닫힌 모노이드 범주의 경우 이는 커링 개념으로 확장된다.

여기서 모노이드 범주를 정의 하는 내부 곱 함자쌍함자이다. 그 동형 사상은 모두에서 자연스럽다. 즉, 닫힌 모노이드 범주에서 내부 함자는 내부 곱 함자에 대한 인접 함자이다. 대상 내부 이라고 한다. 데카르트 곱 일 때, 대상 는 지수 대상라고 하며 종종 기호로 과 같이 나타낸다.

내부 는 함께 연결될 때 범주의 내부 언어라고 하는 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 데카르트 폐쇄 범주의 내부 언어인 단순 유형 람다 미적분과 폐쇄 대칭 단일 범주의 내부 언어인 선형 계이다.

성질

함자

가 준층임을 유의하라; 마찬가지로 은 여준층이다.

함자 에서 일부 에 대해 자연스럽게 과 동형인 집합을 표현 가능한 함자(또는 표현 가능한 여준층)라고 한다. 마찬가지로 에 해당하는 반공변 함수자는 여표현가능이라고 할 수 있다.

은 pro함자이며, 구체적으로는 항등 pro함자 이다.

내부 함자는 극한을 보존한다. 는 극한을 극한으로 보내는 반면 안의 극한, 즉, 안의 여극한을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 볼 수 있다.

기타 성질

아벨 범주이고 의 대상인 경우 에서 아벨 군의 범주 까지의 공변 왼쪽 완전 함수이다. 사영인 경우에만 완전하다.[2]

이라고 하고 을 왼쪽 -가군이라고 하자. 함자 는 텐서 곱 함자 에 인접한다.

같이 보기

메모

  1. Also commonly denoted CopSet, where Cop denotes the opposite category, and this encodes the arrow-reversing behaviour of Hom(–, B).
  2. Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

참조

외부 링크

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