Hom 함자

수학에서, 특히 범주론에서 hom 집합 (즉, 대상 사이의 사상들의 집합)은 집합 범주에 대한 중요한 함자를 생성한다. 이러한 함자는 ${\displaystyle {\textbf {hom}}}$ 함자라고 하며 범주론 및 여러 수학 분야에 수많은 응용이 있다.

공식적인 정의

${\displaystyle C}$를 국소적으로 작은 범주(즉, hom-classes가 고유 모임이 아니고 집합인 범주)라고 가정한다.

${\displaystyle C}$의 모든 대상 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$에 대해 다음과 같이 집합 범주에 두 개의 함자를 정의한다.

Hom(A, –) : C → Set	Hom(–, B) : C → Set[1]
이는 다음과 같이 주어지는 공변 함자이다: ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)}$는 ${\displaystyle X\in C}$를 사상들의 집합 ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,X)}$로 보낸다. ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)}$는 각 사상 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$를 각 ${\displaystyle g\in {\text{Hom}}(A,X)}$에 대해${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$로 주어지는 함수${\displaystyle {\text{Hom}}(A,f):{\text{Hom}}(A,X)\rightarrow {\text{Hom}}(A,Y)}$로 보낸다.	이는 다음과 같이 주어지는 반변 함자이다: ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,B)}$는 각 대상 ${\displaystyle X\in C}$를 사상들의 집합${\displaystyle {\text{Hom}}(X,B)}$로 보낸다. ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,B)}$는 각 사상 ${\displaystyle h:X\rightarrow Y}$를 각 ${\displaystyle g\in {\text{Hom}}(Y,B)}$에 대해 ${\displaystyle {\text{Hom}}(h,B):{\text{Hom}}(Y,B)\rightarrow {\text{Hom}}(X,B)}$로 보낸다.

함자 ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,B)}$은 대상 ${\displaystyle B}$의 점 함자라고도 한다.

${\displaystyle {\text{Hom}}}$의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함수가 발생하고 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반공변 함수가 생성된다.

한 쌍의 함자 ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,-),{\text{Hom}}(-,B)}$는 자연스러운 방식으로 관련된다. 임의의 한 쌍의 사상 ${\displaystyle f:B'\rightarrow B}$와 ${\displaystyle h:A'\rightarrow A}$에 대해 도식

은 가환이다. 두 경로 모두 ${\displaystyle g:A\rightarrow B}$를 ${\displaystyle f\circ g\circ h:A'\rightarrow B'}$로 보낸다.

위 도식의 가환성은 ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,-)}$이 첫째 항에 대해 반변하고 둘째 항에 대해 공변하는 ${\displaystyle C\times C}$에서 ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$로 가는 쌍함자임을 함의 한다. 동등하게, ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,-)}$를

${\displaystyle {\text{Hom}}(-,-):C^{\text{op}}\rightarrow {\textbf {Set}}}$

인 쌍함자라고 말할 수 있다. 여기서 ${\displaystyle C^{\text{op}}}$는 ${\displaystyle C}$의 반대 범주이다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,-)}$에 ${\displaystyle {\text{Hom}}_{C}(-,-)}$ 표기법이 사용되는 경우가 있다.

요네다 보조정리

위의 가환 도식을 참조하면, 모든 사상

${\displaystyle h:A'\rightarrow A}$

은 자연 변환

${\displaystyle {\text{Hom}}(h,-):{\text{Hom}}(A,-)\rightarrow {\text{Hom}}(A',-)}$

을 가져온다. 그리고 모든 사상

${\displaystyle f:B'\rightarrow B}$

은 자연 변환

${\displaystyle {\text{Hom}}(-,f):{\text{Hom}}(-,B)\rightarrow {\text{Hom}}(-,B')}$

을 가져온다. 요네다 보조정리는 ${\displaystyle {\text{Hom}}}$ 함자 사이의 모든 자연스러운 변환이 이 형식임을 의미한다. 즉, ${\displaystyle {\text{Hom}}}$ 함자는 함자 범주 ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C^{\text{op}}}}$(사용되는 ${\displaystyle {\text{Hom}}}$ 함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 ${\displaystyle C}$를 완전하고 충실하게 매장하도록 한다.

내부 Hom 함자

일부 범주에는 ${\displaystyle {\text{Hom}}}$ 함자처럼 동작하는 함자가 있을 수 있지만 ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$이 아니라 범주 ${\displaystyle C}$ 자체의 값을 사용한다. 이러한 함자는 내부 ${\displaystyle {\text{Hom}}}$ 함자라고 하며 종종 다음과 같이 작성된다.

${\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}$

곱과 같은 특성을 강조하거나

${\displaystyle \mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C}$

그것의 함자적 특성을 강조하기 위해, 또는 때로는 단순히 소문자로:

${\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.}$ 예를 보려면 관계 범주를 참조.

내부 Hom 함자가 있는 범주를 닫힌 범주라고 한다. 하나는 그것을 가지고

${\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)}$

여기서 ${\displaystyle I}$는 닫힌 범주의 단위 대상이다. 닫힌 모노이드 범주의 경우 이는 커링 개념으로 확장된다.

${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)}$

여기서 ${\displaystyle \otimes }$는 모노이드 범주를 정의 하는 내부 곱 함자인 쌍함자이다. 그 동형 사상은 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Z}$모두에서 자연스럽다. 즉, 닫힌 모노이드 범주에서 내부 ${\displaystyle {\text{Hom}}}$ 함자는 내부 곱 함자에 대한 인접 함자이다. 대상 ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$은 내부 ${\displaystyle {\textbf {Hom}}}$이라고 한다. ${\displaystyle \otimes }$가 데카르트 곱 ${\displaystyle \times }$일 때, 대상 ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$는 지수 대상라고 하며 종종 기호로 ${\displaystyle Z^{Y}}$과 같이 나타낸다.

내부 ${\displaystyle {\text{Hom}}}$는 함께 연결될 때 범주의 내부 언어라고 하는 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 데카르트 폐쇄 범주의 내부 언어인 단순 유형 람다 미적분과 폐쇄 대칭 단일 범주의 내부 언어인 선형 계이다.

성질

함자

${\displaystyle {\text{Hom}}(-,A):C^{\text{op}}\rightarrow {\textbf {Set}}}$

가 준층임을 유의하라; 마찬가지로 ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)}$은 여준층이다.

함자 ${\displaystyle F:C\rightarrow {\textbf {Set}}}$에서 일부 ${\displaystyle A}$에 대해 자연스럽게 ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)}$과 동형인 집합을 표현 가능한 함자(또는 표현 가능한 여준층)라고 한다. 마찬가지로 ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,A)}$에 해당하는 반공변 함수자는 여표현가능이라고 할 수 있다.

${\displaystyle {\text{Hom}}(-,-):C^{\text{op}}\times C\rightarrow {\textbf {Set}}}$은 pro함자이며, 구체적으로는 항등 pro함자 ${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C}$이다.

내부 ${\displaystyle {\text{hom}}}$ 함자는 극한을 보존한다. ${\displaystyle \operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C}$는 극한을 극한으로 보내는 반면 ${\displaystyle \operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C}$는 ${\displaystyle C^{\text{op}}}$안의 극한, 즉, ${\displaystyle C}$ 안의 여극한을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 볼 수 있다.

기타 성질

${\displaystyle {\textbf {A}}}$가 아벨 범주이고 ${\displaystyle A}$가 ${\displaystyle {\textbf {A}}}$의 대상인 경우 ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {A}}(A,-)}$는 ${\displaystyle {\textbf {A}}}$에서 아벨 군의 범주 ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$까지의 공변 왼쪽 완전 함수이다. ${\displaystyle A}$가 사영인 경우에만 완전하다.^[2]

${\displaystyle R}$을 환이라고 하고 ${\displaystyle M}$을 왼쪽 ${\displaystyle R}$-가군이라고 하자. 함자 ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {R}}(M,-):{\textbf {Mod}}{\text{-}}R\rightarrow {\textbf {Ab}}}$는 텐서 곱 함자 ${\displaystyle \otimes _{R}M:{\textbf {Ab}}\rightarrow {\textbf {Mod}}{\text{-}}R}$에 인접한다.

같이 보기

• Ext 함자
• 함자 범주
• 표현 가능 함자

메모

1. Also commonly denoted C^op → Set, where C^op denotes the opposite category, and this encodes the arrow-reversing behaviour of Hom(–, B).
2. Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

참조

• Mac Lane, Saunders (September 1998). 《Categories for the Working Mathematician》 Seco판. Springer. ISBN 0-387-98403-8. 
• Goldblatt, Robert (2006) [1984]. 《Topoi, the Categorial Analysis of Logic》 Revis판. Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. 2020년 3월 21일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2009년 11월 25일에 확인함. 
• Jacobson, Nathan (2009). 《Basic algebra》 2 2판. Dover. ISBN 978-0-486-47187-7. 

외부 링크

• “Hom functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Internal Hom”. 《nLab》 (영어).