합동 관계

보편 대수학에서 합동 관계(合同關係, 영어: congruence relation)는 대수 구조의 몫 대수를 정의하는 동치 관계이다.

정의

대수 구조 ${\displaystyle (S,F)}$는 집합 ${\displaystyle S}$와, ${\displaystyle S}$ 위의

${\displaystyle S\times S\times \cdots \times S\to S}$

꼴의 함수들의 집합 ${\displaystyle F}$의 순서쌍이다. 대수 구조 ${\displaystyle (S,F)}$ 위의 합동 관계(영어: congruence relation) ${\displaystyle \sim }$는 다음 조건을 만족시키는, ${\displaystyle S}$ 위의 동치 관계이다.

• 모든 ${\displaystyle f\in F}$, ${\displaystyle f\colon S^{\times n}\to S}$ 및 ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in S^{\times n}}$에 대하여, 만약 모든 ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$에 대하여 ${\displaystyle a_{i}\sim b_{i}}$라면 ${\displaystyle f({\vec {a}})\sim f({\vec {b}})}$이다.

대수 구조 ${\displaystyle (S,F)}$ 위의 합동 관계들의, 함의에 따른 부분 순서 집합은 ${\displaystyle \operatorname {Cong} (S)}$로 표기한다. 이는 ${\displaystyle S}$의 동치 관계 격자 ${\displaystyle \operatorname {Equiv} (S)}$의 부분 격자를 이루며, 또한 이는 완비 격자이자 대수적 격자이다.^{[1]:37, Theorem 5.5}

합동 관계의 동치 관계 조건을 반사 대칭 관계로 약화하면, 허용 관계의 개념을 얻는다.

예

군 ${\displaystyle (G,\cdot ,{}^{-1},1)}$는 이항 연산 ${\displaystyle \cdot }$, 일항 연산 ${\displaystyle ^{-1}}$, 영항 연산 ${\displaystyle 1}$이 정의되어 있는 대수 구조이다. 이 경우, 군 ${\displaystyle G}$의 합동 관계는 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군과 일대일 대응한다. 합동 관계 ${\displaystyle \sim }$에 대응하는 정규 부분군은

${\displaystyle N=\{g\in G|g\sim 1\}}$

이며, 반대로 정규 부분군 ${\displaystyle N\triangleleft G}$에 대응하는 합동 관계는

${\displaystyle g\sim h\iff gh^{-1}\in N\iff h^{-1}g\in N\iff g^{-1}h\in N\iff hg^{-1}\in N}$

이다.

유사환 ${\displaystyle (R,+,\cdot ,-,0)}$은 이항 연산 ${\displaystyle +}$와 ${\displaystyle \cdot }$, 일항 연산 ${\displaystyle -}$, 영항 연산 ${\displaystyle 0}$이 정의된 대수 구조이다. 이 경우, ${\displaystyle R}$의 합동 관계는 ${\displaystyle R}$의 아이디얼과 일대일 대응한다. 합동 관계 ${\displaystyle \sim }$에 대응하는 아이디얼은

${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\{r\in R|r\sim 0\}}$

이며, 반대로 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}$에 대응하는 합동 관계는

${\displaystyle r\sim s\iff r-s\in {\mathfrak {a}}\iff s-r\in {\mathfrak {a}}}$

이다.

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$에서, 주 아이디얼 ${\displaystyle (n)}$에 대응되는 합동 관계는 정수의 합동 ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$이다.

군과 유사환과 같은 경우는 합동 관계가 부분 대수로 주어지지만, 일반적으로는 이는 그렇지 않다. 예를 들어, 모노이드 ${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$의 경우 합동 관계는 부분 모노이드로 정의되지 않는다.

같이 보기

• 중국인의 나머지 정리

각주

1. Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001. 2022년 7월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2022년 8월 8일에 확인함. 

외부 링크

• “Congruence (in algebra)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.