폰 노이만 대수

함수해석학에서 폰 노이만 대수(von Neumann代數, 영어: von Neumann algebra)는 어떤 복소수 바나흐 공간의 연속 쌍대 공간으로 나타낼 수 있는 C* 대수이다. 이러한 C* 대수는 항상 적절한 위상에 대하여 닫힌집합을 이루는, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 나타낼 수 있다.^{[1][2][3][4][5]}

정의

폰 노이만 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 추상적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 특별한 성질을 만족시키는 C* 대수로 정의될 수 있다.
• 구체적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 적절한 위상에 대하여 닫힌집합인, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 C* 대수로 정의될 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

추상적 정의

C* 대수 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 주어졌다고 하자. 이는 복소수 바나흐 대수, 특히 복소수 바나흐 공간을 이룬다. 만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cong V^{*}}$가 되는 복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$가 존재한다면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$를 폰 노이만 대수라고 한다. (여기서 ${\displaystyle \cong }$은 복소수 바나흐 공간 사이의 등거리 복소수 선형 전단사 함수의 존재이며, ${\displaystyle V^{*}}$는 ${\displaystyle V}$의 복소수 연속 쌍대 공간이다.)

사실, 이러한 복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$는 (등거리 복소수 선형 전단사 함수 아래) 유일하다. 이를 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 원쌍대 공간(영어: predual)이라고 한다.

구체적 정의

복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위의 유계 작용소들의 C* 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$를 생각하자. 그 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$가 덧셈과 합성과 에르미트 수반과 복소수 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으며 항등원을 포함한다고 하자. 이제, 집합

${\displaystyle {\mathcal {A}}'=\{T\in \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})\colon \forall A\in {\mathcal {A}}\colon TA=AT\}}$

및

${\displaystyle {\mathcal {A}}''=\{T\in \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})\colon \forall A'\in {\mathcal {A}}'\colon TA'=A'T\}}$

를 정의할 수 있다.

그렇다면, 폰 노이만 정리에 따르면, ${\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$의 다음 세 부분 집합이 모두 같다.

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 강한 작용소 위상(즉, 점별 노름 수렴 위상)에서의 폐포
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 약한 작용소 위상(즉, 점별 약한-* 위상 수렴 위상)에서의 폐포
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}''}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}''}$이라면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$(와 동형인 C* 대수)를 폰 노이만 대수라고 한다. 이 정의에 따라, 임의의 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$가 주어졌을 때 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수

${\displaystyle \operatorname {vN} ({\mathcal {S}})=\left(\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{S_{1}S_{2}\dotsm S_{n}\colon n\in \mathbb {N} ,S_{1},S_{2},\dotsc ,S_{n}\in {\mathcal {S}}\cup {\mathcal {S}}^{*}\}\right)''}$

가 존재함을 알 수 있다. 이를 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$로 생성되는 폰 노이만 대수(영어: von Neumann algebra generated by ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$)라고 한다.

추상적 정의에 따른 임의의 폰 노이만 대수에 대하여, 겔판트-나이마르크 정리를 통해 이를 힐베르트 공간 위의 작용소 대수로 표현할 수 있다. 반대로, 구체적 정의에 대한 폰 노이만 대수는 (힐베르트 공간 위의 작용을 무시할 때) 항상 추상적 정의에 부합한다.

무게

폰 노이만 대수 ${\displaystyle A}$의 원소 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle a=b^{*}b}$인 ${\displaystyle b\in A}$가 존재한다면, ${\displaystyle a}$를 양원소(陽元素, 영어: positive element)라고 한다. 양원소의 집합을 ${\displaystyle A^{+}}$로 표기하자. 이들의 집합은 반환 ${\displaystyle [0,\infty )}$ 위의 가군을 이룬다. 마찬가지로, ${\displaystyle [0,\infty ]}$는 ${\displaystyle [0,\infty )}$ 위의 가군을 이룬다.

${\displaystyle [0,\infty )}$-선형 함수

${\displaystyle \omega \colon A^{+}\to [0,\infty ]}$

를 무게라고 한다. 즉, 무게는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \omega (\alpha a+\beta b)=\alpha \omega (a)+\beta \omega (b)\qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\;a,b\in A^{+}}$

위 정의에서 ${\displaystyle 0\cdot \infty =0}$으로 놓는다.

만약 무게 ${\displaystyle \omega }$가 ${\displaystyle \omega (1)=1}$을 만족시킨다면, 이를 상태(狀態, 영어: state)라고 한다. 무게 ${\displaystyle \omega }$가

${\displaystyle \omega (aa^{*})=\omega (a^{*}a)\qquad \forall a\in A}$

를 만족시킨다면, 이를 대각합(對角合, 영어: trace)이라고 한다.

분류

폰 노이만 대수 ${\displaystyle A}$ 가운데, 만약 ${\displaystyle \operatorname {Z} (A)=\mathbb {C} \cdot 1_{A}}$라면, ${\displaystyle A}$를 폰 노이만 인자(von Neumann因子, 영어: von Neumann factor)라고 하자. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {Z} (-)}$는 환으로서의 중심이다.)

모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분(영어: direct integral)

${\displaystyle A=\int _{X}^{\oplus }A_{x}\;\mathrm {d} \mu (x)}$

으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 사실상 유일하다. 따라서, 폰 노이만 대수의 분류는 인자 대수의 분류로 귀결된다. 인자 대수의 분류는 상당 부분 알려져 있다.

예

유계 작용소

임의의 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$에 대하여, 모든 유계 작용소의 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$는 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, 그 원쌍대 공간은 대각합을 부여한, 대각합류 작용소의 복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle ({\mathfrak {S}}_{1}({\mathcal {H}},{\mathcal {H}}),\operatorname {tr} )}$이다.

르베그 공간

${\displaystyle X}$가 시그마 유한 측도 공간이라고 하자.

복소수 값 ∞-르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )}$은 (점별 덧셈과 곱셈 및 복소수 켤레에 대하여) 폰 노이만 대수를 이룬다. 그 원쌍대 공간은 1-르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{1}(X;\mathbb {C} )}$이다.

${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )}$는 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {C} )}$ 위에 작용하는 유계 작용소 대수로 여길 수 있다. 즉, 다음과 같은 표준적인 매장이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )\hookrightarrow \operatorname {B} (\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {C} ),\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle [f]\mapsto ([g]\mapsto [fg])}$

이중 연속 쌍대 공간

셔먼-다케다 정리(Sherman-[武田]定理, 영어: Sherman–Takeda theorem)에 따르면, 임의의 C*-대수 ${\displaystyle A}$에 대하여, 그 이중 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle A^{**}}$는 표준적으로 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle A^{**}}$를 ${\displaystyle A}$의 포락 폰 노이만 대수(영어: enveloping von Neumann algebra)라고 한다.

역사

폰 노이만 정리는 존 폰 노이만이 증명하였다.^[6][7] 이후 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(영어: Francis Joseph Murray, 1911~1996)가 폰 노이만 대수의 기초적 연구를 진행하였다.^[8][9][10] 폰 노이만 대수의 추상적인 정의는 사카이 쇼이치로(일본어: 境 正一郎, 1928~)가 도입하였다.^[11]

셔먼-다케다 정리는 시모어 셔먼(영어: Seymour Sherman, 1917~1977)이 1950년에 증명 없이 발표하였으며,^[12] 1954년에 다케다 지로(일본어: 武田 二郎)가 증명을 출판하였다.^[13]

이후 알랭 콘과 본 존스 등이 폰 노이만 대수의 이론에 크게 공헌하였다.

각주

1. Dixmier, J. (1957). 《Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien: algèbres de von Neumann》 (프랑스어). Gauthier-Villars. 
2. Blackadar, B. (2005). 《Operator algebras》 (PDF) (영어). Springer. ISBN 3-540-28486-9. 2017년 2월 15일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 2월 5일에 확인함. 
3. Connes, A. (1994). 《Non-commutative geometry》 (PDF) (영어). Academic Press. ISBN 0-12-185860-X. 
4. Sakai, Shoichiro (1971). 《C*-algebras and W*-algebras》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61993-9. ISBN 3-540-63633-1. 
5. Brown, Nathanial P. (2008). “The symbiosis of C*- and W*-algebras” (영어). arXiv:0812.1763. Bibcode:2008arXiv0812.1763B. 
6. von Neumann, J. (1930). “Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 102 (1): 370–427. doi:10.1007/BF01782352. 
7. Murray, F. J. 〈The rings of operators papers〉. 《The legacy of John von Neumann (Hempstead, NY, 1988)》. Proceedings of Symposia on Pure Mathematics (영어) 50. American Mathematical Society. 57–60쪽. ISBN 0-8218-4219-6. 
8. Murray, Francis Joseph; von Neumann, John (1936). “On rings of operators”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 37 (1): 116–229. doi:10.2307/1968693. JSTOR 1968693. 
9. Murray, Francis Joseph; von Neumann, John (1937). “On rings of operators II”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) (American Mathematical Society) 41 (2): 208–248. doi:10.2307/1989620. JSTOR 1989620. 
10. Murray, Francis Joseph; von Neumann, John (1943). “On rings of operators IV”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 44 (4): 716–808. doi:10.2307/1969107. JSTOR 1969107. 
11. Sakai, Shôichirô (1956). “A characterization of W^∗-algebras”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 6 (4): 763–773. ISSN 0030-8730. MR 84115. Zbl 0072.12404. 
12. Sherman, S. (1950). 〈The second adjoint of a C* algebra〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1950. Volume 1》 (영어) 1. American Mathematical Society. 470쪽. 2013년 7월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 2월 5일에 확인함. 
13. Takeda, Zirô (1954). “Conjugate spaces of operator algebras”. 《Proceedings of the Japan Academy》 (영어) 30 (2): 90–95. doi:10.3792/pja/1195526177. ISSN 0021-4280. MR 63578. 

외부 링크

• “Von Neumann algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Von Neumann algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “W^* algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Von Neumann algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Enveloping von Neumann algebra”. 《nLab》 (영어).