대수기하학 에서 클라인 4차 곡선 (Klein4次曲線, 영어 : Klein’s quartic curve )은 종수 3의 리만 곡면 가운데 가장 대칭적인 것인 모듈러 곡선 이다.
클라인 4차 곡선 은 2차원 복소수 사영 공간
C
P
2
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}
사영 대수 곡선 이다. (여기서
[
x
:
y
:
z
]
{\displaystyle [x:y:z]}
x
3
y
+
y
3
z
+
z
3
x
=
0
{\displaystyle x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0}
복소수 상반평면
H
=
{
z
∈ ∈ -->
C
: : -->
Im
-->
z
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}}
모듈러 군
PSL
-->
(
2
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}
합동 부분군
Γ Γ -->
(
7
)
≤ ≤ -->
PSL
-->
(
2
;
Z
)
{\displaystyle \Gamma (7)\leq \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}
에 대응되는 모듈러 곡선
H
/
Γ Γ -->
(
7
)
{\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma (7)}
을 클라인 4차 곡선 이라고 한다.
클라인 4차 곡선은 종수 3의 콤팩트 리만 곡면 이다. 이는 대수기하학의 첨가 공식 으로서
g
=
1
2
(
d
− − -->
1
)
(
d
− − -->
2
)
=
3
{\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)=3}
으로 계산 가능하다. (여기서
d
=
4
{\displaystyle d=4}
대수 곡선 을 정의하는 동차 다항식의 차수이다.)
클라인 4차 곡선은 종수 3의 유일한 후르비츠 곡면 이다. 특히, 종수 3의 연결 콤팩트 리만 곡면 가운데 최대의 크기의 자기 동형군 을 갖는다.
클라인 4차 곡선의 (방향 보존) 자기 동형군 은
PSL
-->
(
2
;
F
7
)
≅ ≅ -->
PSL
-->
(
3
;
F
2
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})\cong \operatorname {PSL} (3;\mathbb {F} _{2})}
이며, 그 크기는 168이다. 이 사실은 모듈러 곡선 을 통한 정의에서
PSL
-->
(
2
;
Z
)
/
Γ Γ -->
(
7
)
≅ ≅ -->
PSL
-->
(
2
;
F
7
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )/\Gamma (7)\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})}
로 계산할 수 있다.
클라인 4차 곡선의 주기 행렬(영어 : period matrix )을 생각하자. 종수가 3이므로, 이는 3×3 행렬로 표현되며, 적절한 기저 에서는 다음과 같다.[ 1]
1
2
(
α α -->
1
1
1
α α -->
1
1
1
α α -->
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\alpha &1&1\\1&\alpha &1\\1&1&\alpha \end{pmatrix}}}
여기서
α α -->
=
1
2
(
− − -->
1
+
i
7
)
{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}(-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}})}
이다.
클라인 4차 곡선의 데생당팡. 검은 꼭짓점은 (푸른 색의) 꼭짓점에 대응하며, 흰 꼭짓점은 각 변의 중점에 대응한다. 쌍곡 평면을 정7각형으로 덮은 모양 클라인 4차 곡선
X
{\displaystyle X}
X
↠ ↠ -->
X
/
PSL
-->
(
2
;
F
7
)
≅ ≅ -->
C
P
1
{\displaystyle X\twoheadrightarrow X/\operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})\cong \mathbb {CP} ^{1}}
에 대응하는 데생당팡 은 다음과 같다.
총 56개의 검은 꼭짓점과 총 84개의 흰 꼭짓점이 있다.
모든 검은 꼭짓점의 차수는 3이며, 모든 흰 꼭짓점의 차수는 2이다. 이는 다음과 같이 생각할 수 있다.
쌍곡 평면을 정7각형으로 덮는다고 하자. 이때, 각 꼭짓점에는 세 개의 정7각형이 인접해 있게 한다. 이는 (물론) 무한히 많은 정7각형들을 필요로 한다.
24개의 정7각형들이 남게 특별한 몫을 취한다. (그렇다면
7
⋅ ⋅ -->
24
/
3
=
56
{\displaystyle 7\cdot 24/3=56}
7
⋅ ⋅ -->
24
/
2
=
84
{\displaystyle 7\cdot 24/2=84}
그래프 를 클라인 그래프 (영어 : Klein graph )라고 한다.
각 꼭짓점을 검게 칠하고, 각 변의 중점에 흰 꼭짓점을 추가한다.
펠릭스 클라인 이 1878년에 타원 함수 를 연구하던 도중 도입하였다.[ 2]
![{\displaystyle [x:y:z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824605c6ea4c4537ff9daf4ce86c26ef6a30f529)
