입맞춤 수 문제

기하학에서 입맞춤 수(Kissing number)는 단위구에 서로 겹치지 않는 단위구를 최대 몇 개까지 접하게 할 수 있느냐로 정의된다. 입맞춤 수 문제는 n차원 유클리드 공간에서 가능한 최대의 입맞춤 수를 찾는 문제이다.

알려진 값

1차원에서는 자명히 2이다.

2차원에서도 쉽게 6임을 보일 수 있다.

가장 많이 떨어트리게 12개의 구를 배치한 해

3차원에서는 12가 된다고 보이나, 증명은 까다롭다. 아이작 뉴턴은 12, 데이비드 그레고리(David Gregory)는 13이라고 생각했다. 완전한 증명이 1953년에 나왔다.^[1][2]

4차원에서는 24 또는 25라고 생각되었다. 24개가 접하게 하는 것은 쉽다. 2003년 24개가 최대임이 증명되었다.^[3][4]

4차원 이상에서는 8차원과 24차원에서 알려져 있고, 각각 E₈ 격자와 리치 격자라고 불린다.

같이 보기

• 구 채우기
• 케플러의 추측

각주

1. Conway, John H.; Neil J.A. Sloane (1999). 《Sphere Packings, Lattices and Groups》 3판. New York: Springer-Verlag. 21쪽. ISBN 0-387-98585-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. Brass, Peter; Moser, W. O. J.; Pach, János (2005). 《Research problems in discrete geometry》. Springer. 93쪽. ISBN 9780387238159. 
3. O. R. Musin (2003). “The problem of the twenty-five spheres”. 《Russ. Math. Surv.》 58 (4): 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651. 
4. Pfender, Florian; Ziegler, Günter M. (September 2004). “Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》: 873–883. .