열린 함수와 닫힌 함수

일반위상수학에서 열린 함수(-函數, 영어: open map)는 열린집합의 상이 열린집합인 함수다. 마찬가지로, 닫힌 함수(-函數, 영어: closed map)는 닫힌집합의 상이 닫힌집합인 함수다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X,Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 열린 함수라고 한다.

• 모든 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$에 대하여 ${\displaystyle f(U)\subseteq Y}$가 열린집합이다.
• 모든 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$에 대하여 ${\displaystyle f(B)\subseteq Y}$가 열린집합인 ${\displaystyle X}$의 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 존재한다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$ 및 그 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle f(U)\supseteq V}$인 ${\displaystyle f(x)}$의 열린 근방 ${\displaystyle V\ni f(x)}$가 존재한다.
• 임의의 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle f(\operatorname {int} S)\subseteq \operatorname {int} f(S)}$이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {int} }$는 내부이다.

위상 공간 ${\displaystyle X,Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 닫힌 함수라고 한다.

• 모든 닫힌집합 ${\displaystyle C\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle f(C)\subseteq Y}$가 닫힌집합이다.
• 임의의 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle f(\operatorname {cl} S)\supseteq \operatorname {cl} f(S)}$이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {cl} }$은 폐포이다.

성질

함수 ${\displaystyle X\to Y}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 위상 동형이다.
• 전단사 연속 열린 함수이다.
• 전단사 연속 닫힌 함수이다.

만약 ${\displaystyle Y}$가 이산 공간이라면, 모든 함수 ${\displaystyle X\to Y}$는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).

두 개의 열린 함수의 합성은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 합성은 닫힌 함수이다.

위상 공간들의 집합 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$의 곱공간 ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 ${\displaystyle \pi _{i}\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{i}}$은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.

만약 ${\displaystyle Y}$가 콤팩트 공간이라면, 사영 ${\displaystyle X\times Y\to X}$는 닫힌 사상이다 (튜브 보조정리).

스킴 사상

두 스킴 사이의 열린 사상 또는 닫힌 사상은 (연속 함수로서) 열린 함수 또는 닫힌 함수를 이루는 스킴 사상이다.

열린 사상과 닫힌 사상은 밑 변환에 대하여 불안정하다. 보편 열린 사상(영어: universally open morphism)/보편 닫힌 사상(영어: universally closed morphism)은 다음 조건을 만족시키는 스킴 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이다.

임의의 스킴 사상 ${\displaystyle Y'\to Y}$에 대하여, 밑 변환 ${\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$은 열린 사상/닫힌 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

닫힌 사상 ∩ 준콤팩트 함수 ⊋ 보편 닫힌 사상 ⊋ 고유 사상 ⊋ 닫힌 몰입 ⊋ 스킴 동형

열린 사상 ⊋ 보편 열린 사상 ⊋ 국소 유한 표시 평탄 사상 ⊋ 열린 몰입 ⊋ 스킴 동형

${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$가 열린 사상 · 닫힌 사상 · 보편 열린 사상 · 보편 닫힌 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• (합성에 대한 닫힘) ${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이라면 ${\displaystyle g\circ f}$ 역시 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이다.
• (fpqc 위상에서의 내림) ${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {g}}Y'}$에 대하여, 만약 밑 변환 ${\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이며, ${\displaystyle g}$가 fpqc 사상이라면 ${\displaystyle f}$ 역시 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예

열린 함수가 아닌 연속 닫힌 함수

함수

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$

는 연속 함수이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, 열린집합 ${\displaystyle (-1,1)}$의 상은 ${\displaystyle [0,1)}$이므로 열린집합이 아니다.

연속 함수가 아닌 열린 닫힌 함수

함수

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$

는 (${\displaystyle \mathbb {Z} }$가 이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다.

함수

${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\to [0,2\pi )}$

${\displaystyle x\mapsto \arg x}$

는 전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다.

닫힌 함수가 아닌 연속 열린 함수

사영 함수

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (x,y)\mapsto x}$

는 전사 함수이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 ${\displaystyle \{(x,1/x)\colon 0\neq x\in \mathbb {R} \}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$의 상은 ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )}$이므로 닫힌집합이 아니다.

외부 링크

• “Open mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Closed mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Fully-closed mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Open morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Open geometric morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Closed morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Universally closed morphism”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 고유 함수
• 열린 사상 정리 (함수해석학)