산술종수

대수기하학에서 산술 종수(算術 種數, 영어: arithmetic genus)는 대수다양체의 특징적 수의 하나다.

정의

${\displaystyle n}$차원 복소 대수다양체의 호지 수(Hodge number)가 ${\displaystyle h^{p,q}}$라고 하자. 이 대수다양체의 산술 종수 ${\displaystyle p_{a}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle p_{a}=h^{n,0}-h^{n-1,0}+h^{n-2,0}-\dotsb +(-1)^{n-1}h^{1,0}}$.

마지막 항 ${\displaystyle (-1)^{n}h^{0,0}}$을 포함하지 않는다. 이는 리만 곡면의 종수의 정의와 호환되게 하기 위해서다.

성질

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 대수다양체의 산술 종수는 쌍유리 불변량이다.^{[1]:413, Remark V.5.6.1} 임의의 표수의 대수적으로 닫힌 체 위에서, 고전적으로는 3차원 이하의 비특이 대수다양체의 산술 종수 역시 쌍유리 불변량이라는 사실이 알려져 있었다. 임의의 표수 및 임의의 차원의 비특이 대수다양체의 산술종수가 쌍유리 불변량이라는 사실은 최근에 증명되었다.^[2]

특이점을 갖는 대수다양체의 경우, 산술 종수는 쌍유리 불변량이 아니다. 예를 들어, 특이점을 갖는 대수 곡선에서 특이점을 부풀리면 산술 종수는 감소한다.^{[1]:393, Example V.3.9.2}

각주

1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
2. Chatzistamatiou, Andre; Rülling, Kay (2011). “Higher direct images of the structure sheaf in positive characteristic”. 《Algebra and Number Theory》 (영어) 5 (6): 693–775. arXiv:0911.3599. Bibcode:2009arXiv0911.3599C. doi:10.2140/ant.2011.5.693. ISSN 1937-0652. 

• Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》. Wiley Classics Library (영어) 2판. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001. 

같이 보기

• 기하종수

외부 링크

• “Arithmetic genus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.