복소함수

수학에서 복소 함수(複素函數, 영어: function of a complex variable)는 정의역과 공역의 원소가 모두 복소수인 함수이다.

정의

복소 함수는 ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ 꼴의 함수이다. 그 대응 규칙은 다음과 같다.

${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$

여기서 ${\displaystyle u,v\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$이다.

예

복소 함수에는 복소 지수 함수, 복소 삼각 함수, 복소로그 함수 등이 있다.

복소 지수함수

복소 지수 함수는 다음과 같이 표현되는 복소 함수이다.

${\displaystyle e^{z}\,=\,e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right)}$

다음과 같은 성질을 갖는다.

${\displaystyle e^{iy}\,=\,\cos y+i\sin y}$ (오일러 공식)

이며, ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$는

${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$

로 나타낼 수 있다.

또한

${\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z}}$

이므로, ${\displaystyle w=e^{z}}$가 가질 수 있는 값은 폭 ${\displaystyle 2\pi }$인 수평띠

${\displaystyle -\pi <y\leq \pi }$

안에 있게 되는데, 이 무한 띠를 ${\displaystyle e^{z}}$의 기본영역(fundamental region)이라 부른다.

복소 삼각함수

${\displaystyle \cos z={\frac {1}{2}}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right),\sin z={\frac {1}{2i}}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)}$

실삼각함수에 대한 모든 익숙한 공식은 복소값에 대해서도 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\cos z_{1}\cos z_{2}\mp \sin z_{1}\sin z_{2}\\&\sin \left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\sin z_{1}\cos z_{2}\pm \sin z_{2}\cos z_{1}\\\end{aligned}}}$

복소 쌍곡선함수

${\displaystyle \cosh z={\frac {1}{2}}\left(e^{z}+e^{-z}\right),\sinh z={\frac {1}{2}}\left(e^{z}-e^{-z}\right)}$

복소 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계

복소쌍곡선함수와 삼각함수의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \cosh iz=\cos z,\,\sinh iz=i\sin z,\,\tanh iz=i\tan z}$

복소삼각함수와 쌍곡선함수의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \cos iz=\cosh z,\,\sin iz=i\sinh z,\,\tan iz=i\tanh z}$

복소 로그함수

${\displaystyle z=x+iy}$의 자연로그(natural logarithm)는 ${\displaystyle \ln \,z}$로 표시하고 지수함수의 역함수로 정의한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\ln z=\ln r+i\theta \\&\left(r=\left|z\right|>0,\theta =\arg z\right)\\\end{aligned}}}$

이때, 실미적분학과 다른 점을 발견할 수 있다. ${\displaystyle z}$의 편각은 ${\displaystyle 2\pi }$의 임의의 정수배를 더한 값들로 결정되므로, 복소자연로그 ${\displaystyle \ln z\ \left(z\neq 0\right)}$는 무한히 많은 값을 갖는다. ${\displaystyle \operatorname {Arg} \,\,z}$에 상응하는 ${\displaystyle \ln \,z}$의 값을 ${\displaystyle \operatorname {Ln} \,\,z}$로 표기하고, ${\displaystyle \ln \,z}$의 주값(principal value)이라 부른다. 따라서,

${\displaystyle \operatorname {Ln} \,z=\ln \left|z\right|+i\operatorname {Arg} \,z}$

이다. ${\displaystyle \operatorname {Arg} \,z}$의 다른 값들은 ${\displaystyle 2\pi }$의 정수배만큼 다르므로 ${\displaystyle \ln \,z}$의 다른 값들은

${\displaystyle \ln z=\operatorname {Ln} \,z\pm 2n\pi i}$

이 된다.

일반 거듭제곱

복소수 ${\displaystyle z=x+iy}$의 일반 거듭제곱 공식

${\displaystyle z^{c}\,=\,e^{c\ln z}}$

로 정의된다.

참고 도서

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.