베타 분포

베타 분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
기호	Beta(α, β)
매개변수	α,β > 0
지지집합	${\displaystyle x\in [0,1]}$
확률 밀도	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$
누적 분포	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$
기댓값	${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}$ (디감마함수)
중앙값	${\displaystyle I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}$
최빈값	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$ (α, β >1)
분산	${\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$ (폴리감마함수)
비대칭도	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
첨도	${\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$
엔트로피	${\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}$
적률생성함수	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
특성함수	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}$ (초기하함수)

확률론과 통계학에서 베타 분포(Β分布, 영어: beta distribution)는 두 매개변수 ${\displaystyle \alpha }$와 ${\displaystyle \beta }$에 따라 [0,1] 구간에서 정의되는 연속 확률 분포들의 가족이다.

확률 밀도 함수

베타 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle \Gamma }$는 감마 함수이다. 베타 함수 B(.,.)는 함수의 적분값이 1이 되도록 하기 위해 사용되었다.

응용

베타 분포는 다운링크 빔포밍 등에 쓰인다.

외부 링크

• “Beta-distribution”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Beta distribution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.