균일화 정리

복소해석학에서 균일화 정리(均一化定理, uniformization theorem)는 단일 연결 리만 곡면이 열린 단위 원판이나 복소평면, 리만 구 가운데 하나로 전단사 등각 사상이 존재한다는 정리다.

정의

균일화 정리에 따르면, 모든 연결 단일 연결 리만 곡면은 다음 목록 가운데 (정확히) 하나와 서로 전단사 정칙함수를 갖는다.

• 리만 구 ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 복소평면 ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 열린 단위 원판 ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |1>|z|\}}$

또한, 종수 ${\displaystyle g}$의 콤팩트 리만 곡면의 경우, 그 범피복 리만 곡면은 다음과 같다.

• ${\displaystyle g=0}$인 경우: 리만 구
• ${\displaystyle g=1}$인 경우: 복소평면
• ${\displaystyle g>1}$인 경우: 열린 단위 원판

리만 사상 정리는 이 정리에서 리만 곡선이 복소평면의 단일 연결 부분집합인 특수한 경우이다.

역사

이 정리는 1883년에 앙리 푸앵카레^[1]와 펠릭스 클라인^[2]이 독립적으로 추측했으며, 그 증명은 1907년에 앙리 푸앵카레^[3]와 파울 쾨베에 의해 각각 독립적으로 이루어졌다.^[4][5][6]

각주

1. Poincare, Henri (1882). “Mémoire sur les fonctions fuchsiennes”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) (Springer Netherlands) 1: 193–294. doi:10.1007/BF02592135. ISSN 0001-5962. JFM 15.0342.01. 
2. Klein, Felix (1883). “Neue Beiträge zur Riemann’schen Functionentheorie”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 21: 141–218. doi:10.1007/BF01442920. ISSN 0025-5831. JFM 15.0351.01. 
3. Poincaré, Henri (1907). “Sur l’uniformisation des fonctions analytiques”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) (Springer Netherlands) 31: 1–63. doi:10.1007/BF02415442. ISSN 0001-5962. JFM 38.0452.02. 
4. Koebe, Paul (1907). “Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven”. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse》 (독일어): 177–190. JFM 38.0453.01. 
5. Koebe, Paul (1907). “Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven”. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse》 (독일어): 191–210. JFM 38.0454.01. 
6. Koebe, Paul (1907). “Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung)”. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse》 (독일어): 633–669. JFM 38.0455.02. 

• Gray, Jeremy (1994). 〈On the history of the Riemann mapping theorem〉 (PDF). Umberto Bottazzini. 《Studies in the history of modern mathematics》. Rendiconti del Circolo Matemático di Palermo. Serie II. Supplemento (영어) 34. 47–94쪽. MR 1295591. Zbl 0810.01005. 
• Bers, Lipman (1972). “Uniformization, moduli, and Kleinian groups”. 《The Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) 4 (3): 257–300. doi:10.1112/blms/4.3.257. ISSN 0024-6093. MR 0348097. Zbl 0257.32012. 

외부 링크

• “Uniformization”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 기하화 추측